Esiste una caratterizzazione alternativa della scarsità di un segnale nel rilevamento compresso

Il presupposto iniziale per il rilevamento compresso (CS) è che il segnale sottostante è in qualche modo scarso, ad esempio, ci sono un massimo di coefficienti di Fourier diversi da zero per un segnale sparso. E le esperienze di vita reale mostrano che i segnali in esame sono spesso scarsi.$s$

La domanda è: dato un segnale, prima di inviare i bit campionati in modo compressivo al ricevitore e lasciarla recuperare al meglio delle sue capacità, c'è un modo per dire qual è la sua scarsità e se è un candidato adatto per la compressione percepire in primo luogo?

In alternativa, c'è qualche caratterizzazione aggiuntiva / alternativa della scarsità che può dirci rapidamente se CS sarà utile o meno. Si può banalmente vedere che il mittente potrebbe fare esattamente quello che farà il destinatario con un insieme di misure scelte casualmente, e quindi provare a capire la risposta. Ma c'è un modo alternativo per risolvere questa domanda?

Il mio sospetto è che qualcosa del genere deve essere stato studiato, ma non sono riuscito a trovare un buon indicatore.

Nota: avevo inviato questa domanda su Mathoverflow, qualche settimana fa, ma non avevo ricevuto risposta. Da qui il cross-post.

In effetti, ci sono modi in cui è possibile stimare la scarsità o il contenuto delle informazioni sul dispositivo di acquisizione. I dettagli, la praticità e l'utilità effettiva di farlo sono discutibili e fortemente dipendenti dal contesto in cui viene applicato. Nel caso dell'imaging, si potrebbero determinare aree di un'immagine più o meno comprimibili in una base predeterminata. Ad esempio, vedere "Campionamento compressivo basato su salienza per segnali di immagine" di Yu et al . In questo caso, i requisiti di complessità aggiuntivi posti sul dispositivo di acquisizione forniscono guadagni marginali.

Per quanto riguarda le tue domande su come determinare l'utilità del Sensing compresso su un dato segnale al momento dell'acquisizione: Se il segnale in questione aderisce a qualsiasi tipo di modello noto a priori , è possibile il Sensing compresso. Il recupero accurato dipende semplicemente dal rapporto tra il numero di misurazioni effettuate e il grado in cui il segnale campionato aderisce al modello. Se si tratta di un modello errato, non si supererà la transizione di fase. Se è un buon modello, sarai in grado di calcolare una ricostruzione accurata del segnale originale. Inoltre, le misure di rilevamento compresso sono, in generale, a prova di futuro. Se si dispone di un determinato numero di misurazioni per un segnale che sono insufficienti nel numero di recuperi accurati del segnale originale usando il modello che si ha oggi, allora è ancora possibile escogitare un modello migliore domani per il quale queste misurazioni sono sufficienti per un recupero accurato.

Nota aggiuntiva (modifica): l'approccio di acquisizione menzionato nella tua domanda sembrava abbastanza vicino al Compressed Sensing adattivo, quindi ho pensato che ciò che segue potesse interessare i lettori di questa domanda. I recenti risultati di Arias-Castro, Candes e Davenport hanno dimostrato che le strategie di misurazione adattativa non possono, in teoria, offrire vantaggi significativi rispetto al rilevamento compresso non adattivo (cioè cieco). Mi riferisco ai lettori del loro lavoro, "Sui limiti fondamentali del rilevamento adattivo", che dovrebbe apparire presto nell'ITIT.

Un approccio pratico sarebbe quello di controllare il tuo segnale di interesse con una selezione di dizionari per capire se è scarso in nessuno di essi. In realtà non devi fare ciò che il ricevitore farebbe, cioè comprimere e ricostruire il segnale, per vedere se è scarso nel particolare dizionario. È possibile applicare una trasformazione lineare ad essa e verificare se il vettore trasformato è scarso. Se lo è, la trasformazione inversa è il tuo dizionario. Per sparse, intendo contare il numero di coefficienti diversi da zero o non trascurabili nel vettore. Ad esempio, calcola il DFT del tuo segnale. Se la sua rappresentazione nel dominio della frequenza risulta essere scarsa (abbastanza), è possibile utilizzare il DFT inverso come dizionario. Se la trasformazione non è invertibile, ad esempio una matrice ampia, non è altrettanto semplice, ma dovrebbe comunque essere fattibile con i frame.

Per quanto riguarda le alternative alla scarsità, endolith menziona alcuni tentativi di generalizzare la "semplicità" a qualcosa di più della semplice scarsità. Inoltre, ci sono anche:

1. Rango basso: utilizzato nel completamento della matrice, che è una sorta di generalizzazione della matrice del rilevamento compresso. Vedi ad esempio il completamento esatto della matrice tramite ottimizzazione convessa e documenti più recenti di Candès et al.
2. " k -simpleness": i vettori non sono esattamente radi; la maggior parte delle voci sono a o b e alcune ( k ) sono in mezzo. Questo è ad esempio descritto in Donoho & Tanner, "Teoremi di sottocampionamento preciso" (esempio 3).

$\|x\|_1^2/\|x\|_2^2$