Forma degli elementi strutturanti per gradienti morfologici

Sto cercando di comprendere le forme consigliate di elementi strutturanti utilizzati nel calcolo dei gradienti morfologici . Secondo Pierre Soille: Analisi morfologica dell'immagine :

Sono considerati solo elementi strutturanti simmetrici contenenti la loro origine . In questo modo, ci assicuriamo che la differenza aritmetica sia sempre non negativa .

La differenza aritmetica menzionata nella citazione si riferisce a tre combinazioni attualmente utilizzate per calcolare il gradiente discreto:

• differenza aritmetica tra dilatazione ed erosione;
• differenza aritmetica tra la dilatazione e l'immagine originale;
• differenza aritmetica tra l'immagine originale e la sua erosione.

Ma penso che usare una SE contenente la sua origine sia sufficiente (assicura anti-estensibilità di dilatazione ed estensività di erosione). In questo caso, vale quanto segue e garantisce la non negatività in tutti e tre i casi:

$\varepsilon_B \leq id \leq \delta_B$ (dove $id$ è la trasformazione dell'identità)

Sto cercando un motivo per applicare la condizione di simmetria . Intuitivamente, capisco che usare una SE simmetrica è meglio che usare una SE non simmetrica (es. Esaminare un vicinato simmetrico di pixel). Mi è stato anche suggerito che potrebbe esserci una ragione storica per questo vincolo.

Tuttavia, vorrei esempi specifici, argomenti o riferimenti che puntano a proprietà desiderabili di SE simmetriche (o proprietà indesiderabili di SE non simmetriche).

Per gli elementi planari (sottintesi dalla dicitura "elemento strutturante") il contenimento dell'origine è sufficiente per mantenere le proprietà di anti-estensibilità per l'erosione e di estensibilità per la dilatazione, come si può trovare in molti testi e lo avete anche sottolineato. Quindi, sì, questo è sufficiente per la non negatività per la differenza aritmetica (questo è mostrato direttamente dalla contraddizione). La ragione per cui questo pezzo di testo è presente nel libro di Pierre potrebbe essere semplice: un errore. Questa affermazione è supportata da altri articoli (come "Gradienti morfologici" di Rivest, Soille, Beucher o "An Overview of Morphological Filtering" di Serra, Vincent) sul gradiente morfologico definito da Beucher nella sua tesi. Ora mi aspetto che la situazione più comune sia l'applicazione di un gradiente in modo isotropo,

Ora, alla seconda parte della domanda (supponiamo che l'isotropia non sia sufficiente per concludere la risposta). La prima ragione che posso dare per l'uso di elementi simmetrici è quella di eliminare l'onere di trattare le molteplici definizioni di erosione e dilatazione presenti in letteratura. Si scopre che quando si considerano elementi simmetrici, le definizioni distinte diventano le stesse, garantendo lo stesso comportamento tra implementazioni diverse. L'uso di elementi anisotropi tradurrà anche i tuoi oggetti, il che potrebbe essere utile solo per alcune determinate applicazioni. Inoltre, alcuni elementi strutturanti sono banalmente decomposti quando sono simmetrici, consentendo applicazioni più rapide di operazioni morfologiche.

Ho cercato Jaehne, Gonzalez, Soille (quello che hai pubblicato e anche Mathematical Morphology and Its Applications to Image and Signal Processing) e alcuni altri documenti morfologici speciali e non ho trovato né criteri di progettazione per l'elemento strutturante né suggerimenti particolari sul perché debba essere simmetrico.

Personalmente penso che un SE simmetrico sia buono per gli stessi effetti simmetrici sull'oggetto che si desidera modificare. Con la mia esperienza esistente non userei un SE non simmetrico, perché non posso prenderlo per nessun oggetto o scenario e non so come reagirà per altri casi.

Tuttavia è una domanda interessante e sto cercando di ottenere una risposta.

Gli elementi strutturanti asimmetrici producono una dilatazione della traduzione sul set o sull'immagine originale. La dimensione della traduzione è determinata dall'offset al centro dell'elemento strutturante. Ad esempio, puoi provare questo usando matlab per l'operatore di dilatazione:

I = imread('circles.png');
se = strel('disk',10); %you could see it with se = strel('line',5,180) 
%too but have to make sure that the origin still lies in the se.
se2 = translate(se,[-5,-5]) %offset the center by 5 pixels
figure, imshow(imdilate(I,se))
figure, imshow(imdilate(I,se2))

Uno lo evita poiché introduce l'anisotropia usando l'elemento di struttura asimmetrica. Ma si può usare questo per applicazioni nel rilevamento dei bordi.