Quando sono due segnali ortogonali?

La definizione classica di ortogonalità nell'algebra lineare è che due vettori sono ortogonali, se il loro prodotto interno è zero.

Ho pensato che questa definizione potesse essere applicata anche ai segnali, ma poi ho pensato al seguente esempio:

Considera un segnale sotto forma di un'onda sinusoidale e un altro segnale sotto forma di un'onda coseno. Se li campiono entrambi, ottengo due vettori. Mentre seno e coseno sono funzioni ortogonali, il prodotto dei vettori campionati non è quasi mai zero, né la loro funzione di correlazione incrociata a t = 0 svanisce.

Allora, come si definisce l'ortogonalità in questo caso? O il mio esempio è spento?

Come forse saprai, l'ortogonalità dipende dal prodotto interno del tuo spazio vettoriale. Nella tua domanda affermi che:

Mentre seno e coseno sono funzioni ortogonali ...

Ciò significa che probabilmente hai sentito parlare del prodotto interno "standard" per gli spazi funzionali:

Se risolvi questo integrale per $f(x)=\cos (x)$ e $g(x)=\sin(x)$ per un singolo periodo, il risultato sarà $0$: sono ortogonali.

Il campionamento di questi segnali, tuttavia, non è correlato all'ortogonalità o altro. I "vettori" che si ottengono quando si campiona un segnale sono solo valori messi insieme che hanno senso per te : non sono rigorosamente vettori , sono solo matrici (in gergo di programmazione). Il fatto che li chiamiamo vettori in MATLAB o in qualsiasi altro linguaggio di programmazione può essere fonte di confusione.

In realtà è un po 'complicato, dal momento che si potrebbe definire uno spazio vettoriale di dimensione $N$ se hai $N$campioni per ciascun segnale, in cui tali array sarebbero effettivamente vettori reali . Ma quelli definirebbero cose diverse.

Per semplicità, supponiamo di essere nello spazio vettoriale $\mathbb{R}^3$ e tu hai $3$campioni per ciascun segnale e tutti sono valutati in modo reale. Nel primo caso, un vettore (ovvero tre numeri messi insieme) farebbe riferimento a una posizione nello spazio. Nel secondo, si riferiscono a tre valori che un segnale raggiunge in tre tempi diversi. In questo esempio è facile individuare la differenza. Se tu avessi$n$ campioni, quindi la nozione di "spazio" sarebbe meno intuitiva, ma l'idea è ancora valida.

In breve, due segnali sono ortogonali se lo è il prodotto interno tra loro (vale a dire l'integrale che ho scritto sopra) $0$e i vettori / array ottenuti campionandoli non ci dicono nulla del loro essere ortogonali.

L'ortogonalità è infatti definita tramite un prodotto interno, con un integrale per una variabile temporale ordinale continua, con una somma per una variabile temporale discreta.

Quando si convertono due segnali (continui) ortogonali in segnali discreti (campionamento regolare, ampiezze discrete), possibilmente a finestra (supporto finito), è possibile influire sull'ortogonalità. In altre parole: due segnali a tempo continuo ortogonali possono diventare quasi ortogonali solo se discretizzati. Se la discretizzazione va abbastanza bene e la finestra è ben scelta, quindi in alcuni casi (pertinente alla periodicità, alla frequenza), si mantiene l'ortogonalità.

Nell'impostazione continua, lo spazio delle funzioni è infinito, quindi sono disponibili molte opzioni per trovare segnali ortogonali. In uno spazio discreto, il numero massimo di segnali reciprocamente ortogonali è limitato dalla dimensione dello spazio.

Devi prima definire un prodotto interno per le funzioni. Non puoi semplicemente moltiplicarti l'uno con l'altro.

Non sono sicuro delle proprietà del prodotto interno, ma secondo questa lezione un prodotto interno deve essere commutativo, lineare e il prodotto interno di una funzione con se stesso dovrebbe essere definito positivo.

Un'opzione per un prodotto interno per le funzioni potrebbe essere,

con $a<b$. Ma forse potresti trovare tu stesso definizioni diverse o giocare con questa e vedere per quale$a$ e $b$, $\sin(x)$ e $\cos(x)$ sono ortogonali.

Penso di poter rispondere alla domanda dopo aver letto l'articolo "La decomposizione della modalità empirica e lo spettro di Hilbert per l'analisi delle serie temporali non lineari e non stazionarie" di Huang. In questo articolo (Pagina 927), Huang ha dato la definizione dell'ortogonalità tra due segnali:

Inoltre, vorrei condividere con te il mio codice MATLAB:

function OC=ort(x,y)
x=x(:)';
y=y(:);
xy=x*y;
OC=xy/(sum(x.^2)+sum(y.^2));
end

Questo è tutto, buona fortuna ~

In termini di moltiplicazione della matrice (come per un DFT), l'intervallo equivalente di integrazione per i segnali è determinato dalla dimensione della matrice (o dalla dimensione del vettore di input) e dalla frequenza di campionamento. Questi sono spesso scelti in base a considerazioni pratiche (tempo o spazio di interesse e / o disponibilità, ecc.). L'ortogonalità è definita in quell'intervallo di integrazione.

Direi che il tuo esempio è un po 'fuori.

Molto probabilmente non hai provato le funzioni $\sin$ e $\cos$correttamente, nel senso che il campionamento dovrebbe rispettare la loro periodicità. Se campionate queste funzioni sul set$\{\dfrac{n2\pi}{N}\ |\ n\in\{0,\ldots, N-1\}\}$, Ti assicuro che troverai che il $N$tridimensionali che troverete saranno completamente ortogonali.

Mi piace avere un approccio geometrico su questo tipo di problema, ricordando che la formula di Pythogoras vale ancora per i vettori:

con il prodotto scalare che definisce il coefficiente di correlazione come il coseno dell'angolo tra i due vettori in questo spazio interno del prodotto :

Lo scalare $\cos(angle(x, y))$ è quindi limitato tra $-1$ e $1$ e misura il coseno dell'angolo $angle(x, y)$ tra i vettori $x$ e $y$.

tale che, per rispondere alla tua domanda, l' ortogonalità è definita (come nello spazio planare della solita geometria) come quando il coseno è zero .