La seguente trama è una leggera variazione di un esempio in un libro di testo. L'autore ha usato questo esempio per illustrare che un polinomio interpolante su campioni equidistanti presenta ampie oscillazioni vicino alle estremità dell'intervallo di interpolazione. Naturalmente l'interpolazione spline cubica fornisce una buona approssimazione per l'intero intervallo. Per anni, ho pensato che l'interpolazione polinomiale di alto ordine su campioni equidistanti dovesse essere evitata per il motivo illustrato qui.
Tuttavia, di recente ho trovato molti esempi di segnali bandlimited in cui un polinomio di interpolazione di alto ordine fornisce un errore di approssimazione minore dell'interpolazione cubica-spline. Tipicamente un polinomio di interpolazione è più accurato su tutto l'intervallo di interpolazione quando la frequenza di campionamento è sufficientemente elevata. Ciò sembra valere quando i campioni sono equidistanti da una frequenza di campionamento almeno 3 volte maggiore della frequenza di Nyquist del segnale. Inoltre, il vantaggio rispetto all'interpolazione spline cubica migliora con l'aumentare della (frequenza di campionamento) / (frequenza di Nyquist).
Ad esempio, confronto l'interpolazione cubico-spline con un polinomio interpolante per un'onda sinusoidale con una frequenza di Nyquist di 2 Hz e una frequenza di campionamento di 6,5 Hz. Tra i punti di campionamento, il polinomio interpolante sembra esattamente lo stesso del segnale reale.
Di seguito comparo l'errore nelle due approssimazioni. Come nel primo esempio, l'interpolazione polinomiale fa la cosa peggiore vicino all'inizio e alla fine dell'intervallo di campionamento. Tuttavia, il polinomio interpolante presenta meno errori di una spline cubica sull'intero intervallo di campionamento. Il polinomio interpolante presenta anche meno errori quando si estrapola in un intervallo ridotto. Ho scoperto un fatto ben noto? In tal caso, dove posso leggerlo?
