Perché questo modello Moiré è simile a questo?

Stavo realizzando alcune gif di trasformazioni di Mobius in Matlab e iniziarono ad apparire strani schemi. Non sono sicuro che sia necessaria una conoscenza più approfondita del tipo di file / algoritmo per comprendere questo fenomeno, ma ho pensato che forse ci potrebbe essere una spiegazione puramente matematica. L'immagine è ottenuta colorando il piano complesso come una scacchiera, e quindi invertendolo prendendo il reciproco del coniugato complesso. Ecco il psuedocode matematico per l'immagine con un dato zoom : $k$

\begin{aligned} checkerboard : C \to {black, white} \\ checkerboard (z) := {\begin{cases} black & if ⌊ ℑ (z) ⌋ + ⌊ ℜ (z) ⌋ \equiv 0 \mod 2 \\ white & if ⌊ ℑ (z) ⌋ + ⌊ ℜ (z) ⌋ \equiv 1 \mod 2 \end{cases} \\ image = {z \in C : | ℜ (z) |, | ℑ (z) | \leq 1} \\ colore : Immagine \to {nero, bianca} \\ colore (z) : = scacchiera (K / \bar{z}) \end{aligned}

$\begin{align} &\mbox{checkerboard}:\mathbb C \to\{\mbox{black},\mbox{white}\}\\ &\mbox{checkerboard}(z):=\begin{cases} \mbox{black} & \mbox{if }\lfloor\Im(z)\rfloor+\lfloor\Re(z)\rfloor\equiv 0\mod 2\\ \mbox{white} & \mbox{if }\lfloor\Im(z)\rfloor+\lfloor\Re(z)\rfloor\equiv 1\mod 2 \end{cases}\\ &\mbox{image} = \{z\in\mathbb C:|\Re(z)|,|\Im(z)|\leq 1\}\\ &\mbox{color}:\mbox{image}\to\{\mbox{black},\mbox{white}\}\\ &\mbox{color}(z):=\mbox{checkerboard}(k/\overline{z}) \end{align}$

Ed ecco le immagini per $k=1$ , $k=50$ e $k=200$ . La risoluzione di ogni immagine è $1000\times 1000$ . Non ho esperienza nell'elaborazione del segnale, ma sarei ansioso di imparare le cose!

MODIFICARE:

Più specificamente, perché il modello Moiré si "sincronizza" con la risoluzione dell'immagine in determinati punti?
È possibile prevedere il modello Moiré?

image-processing aliasing pattern

— BH
fonte

Quello che stai vedendo è aliasing. Stai cercando di rappresentare un'immagine con componenti a frequenza più elevata di quella consentita dal monitor, in modo da ottenere alias. en.wikipedia.org/wiki/Moiré_pattern

— MBaz

MBaz, sto cercando una spiegazione matematica del motivo per cui lo schema di aliasing si presenta così!

— BH

Sì, è possibile prevedere il modello Moiré. Conosci la trasformazione di Fourier?

— Marcus Müller,

Non abbastanza per usarlo in questa situazione!

— BH,

Devo andare a letto ora, spero che la spiegazione approssimativamente matematica qui sotto ti aiuti - in base all'ipotesi che qualcuno con la cardinalità di un insieme infinito numerabile potrebbe essere più o meno interessato a una visione piuttosto astratta che a una spiegazione funzionalmente analitica.

— Marcus Müller,

Dovrai comprendere il teorema del campionamento . In breve, ogni segnale ha quello che chiamiamo uno spettro ¹, che è la trasformata di Fourier del segnale quando arriva nel dominio del tempo (se è un segnale temporale), o dominio spaziale (se è un'immagine. Dal momento che la trasformata di Fourier è biiettivo, un segnale e la sua trasformazione sono equivalenti, infatti si può spesso interpretare la Trasformata di Fourier come cambiamento di base. Chiamiamo quella "conversione in dominio della frequenza", poiché i valori della trasformata di Fourier per le ordinate basse descrivono le cose che cambiano lentamente nel segnale di dominio originale (tempo o spaziale), mentre il contenuto ad alta frequenza è rappresentato da valori di trasformata di Fourier con posizione elevata.

In generale, tali spettri possono avere un certo supporto ; il supporto è l'intervallo minimo al di fuori del quale lo spettro è 0.

Se ora usi un sistema di osservazione la cui capacità di riprodurre frequenze è limitata a un intervallo più piccolo di detto supporto (che spesso è infinito, tra l'altro, ed è sempre infinito per segnali che hanno estensione finita nel tempo o nello spazio), tu non può rappresentare il segnale originale con quel sistema.

In questo caso, la tua immagine ha una certa risoluzione, che è, alla fine, il fatto che tu valuti il valore della tua funzione in punti discreti in una spaziatura fissa, non infinitesimale. L'inverso di tale spaziatura è la frequenza di campionamento (spaziale).

Pertanto, la tua immagine non può rappresentare il segnale originale - è semplicemente matematicamente impossibile che la mappatura della funzione sottostante ai pixel sia veramente equivalente alla funzione originale, poiché sappiamo che in questo caso, la gamma totale di frequenze rappresentabili dalla tua valutazione in punti discreti ("campionamento") è la metà della frequenza di campionamento e, pertanto, qualcosa deve andare storto con la parte dello spettro del segnale che è superiore alla metà della frequenza di campionamento.

Quello che succede è, in effetti, che lo spettro ottiene alias: ogni componente spettrale con una frequenza viene "spostato" verso il basso di , in modo che . In effetti, ciò porta a una "struttura" in cui (sembra) che non ci dovrebbe essere. $f_o \ge \frac{f_\text{sample}}{2}$ $n\cdot f_\text{sample},\, n\in \mathbb Z$ $|f_o-nf_\text{sample}| < \frac{f_\text{sample}}{2}$

Prendi le "grandi" strutture dalla tua foto che ho dipinto di verde:

Sembra certamente che ci sia un contenuto a bassa frequenza qui - ma in realtà, è solo il contenuto ad alta frequenza a frequenze che è diventato aliasato per le basse frequenze, poiché era vicino a un multiplo intero della frequenza di campionamento. $>\frac{f_\text{sample}}2$

Quindi, sì , puoi prevedere gli artefatti che accadono a un segnale 2D durante il campionamento confrontando la sua trasformata di Fourier con la larghezza di banda offerta dalla frequenza di campionamento.

¹ questo potrebbe essere diverso dallo spettro usato nell'algebra lineare per descrivere le proprietà di Eigen degli operatori.

— Marcus Müller
fonte

Neato !! Grazie mille per questa risposta dettagliata. Sembra che il comportamento di ciascuno dei bit verdi sia leggermente diverso e immagino che dipenda dal valore di . Devo leggere su tutta questa cosa della trasformata di Fourier !!

n

$n$

— BH