Interpretazione della densità spettrale di potenza Doppler di Clarke

Quello che ho capito della diffusione Doppler è che il movimento relativo tra trasmettitore (TX) e ricevitore (RX) cambia il tempo di esposizione del segnale. In rapporto a un TX-RX a distanza costante, uno spostamento l'uno verso l'altro TX-RX "comprime" il segnale nel tempo (il segnale impiega meno tempo a propagarsi), quindi il segnale viene "espanso" nel dominio della frequenza. Allo stesso modo, un RX-TX che si allontana "espande" il segnale nel tempo e "comprime" il suo spettro. In breve, questo sta ridimensionando la trasformata di Fourier. Questi due casi estremi fissano i limiti sinistro e destro della diffusione di una frequenza originale tra e dove è la massima diffusione Doppler. $-f_d$ $+f_d$ $f_d$

Osservando il modello Clarke, si tratta solo di un modello a propagazione multipla con un ambiente di scattering ricco e uguale angolo di arrivo. (link per maggiori dettagli sul modello Clarke )

Se ho capito bene, ci sono due ipotesi che sono ragionevoli nell'ambiente urbano:

Dissolvenza di Rayleigh
uguale angolo di arrivo o uguale sensibilità del ricevitore

Ho seguito la matematica dall'articolo originale, sembra ok. Lo spettro finale di potenza Doppler è quindi $\displaystyle S(f) = \frac{1}{\pi f_d \sqrt{1 - \left(\frac{f}{f_d}\right)^2}}$

Quello che non capisco è il motivo per cui l'energia è concentrata sulle due estreme frequenze di diffusione $-f_d$ e $f_d$ mentre gli angoli di arrivo sono uniformi. C'è qualche interpretazione fisica? Cosa mi manca del famoso modello Clarke? Personalmente, questo modello sembra ben modellare l'ambiente urbano tipico.

RH Clarke, Una teoria statistica della ricezione radio mobile , The Technical System Journal, luglio / agosto 1968, pag. 957ff

Risposte Sebbene la risposta di Carlos catturi la parte matematica più fondamentale, la vera risposta è nel suo commento sulla "mappatura tra angolo e frequenza". Inoltre, anche la risposta di Massimiliano è interessante.

power-spectral-density doppler

— AlexTP
fonte

Data una velocità costante e nessun multipath, ti aspetteresti un offset di frequenza costante per Doppler.

— Dan Boschen

Grazie Dan, è corretto. Ma non è per questo che chiedo aiuto.

— AlexTP,

Mi dispiace di aver frainteso la tua domanda; Penso che Carlos abbia risposto di seguito, ma cosa ti aspettavi di vedere per l'energia diversa dalla trama che mostri?

— Dan Boschen,

Sì, Carlos ha risposto alla mia domanda, ma nel suo commento. È la mappatura tra angolo di arrivo

θ

$\theta$ e frequenza

f

$f$ .

— AlexTP

Risposte:

Un modo semplice e "non tecnico" di pensarlo è il fatto che la frequenza Doppler è proporzionale $\cos\theta$ . Le ampiezze del coseno, tuttavia, non sono distribuite uniformemente, ma sono fortemente ponderate verso $\pm 1$ .

Diagramma di esempio da dimostrare, usando il codice Python / Pylab:

theta = linspace(0, 2*pi, 1001)
x = cos(theta)
hist(x)

Più rigore può essere visto notandolo

\begin{aligned} f & = f_{d} \cos θ \\ θ & = \cos^{- 1} (\frac{f}{f_{d}}) \end{aligned}

$\begin{align} f &= f_d \cos\theta\\ \theta &= \cos^{-1}\left(\frac{f}{f_d}\right) \end{align}$ e la potenza ricevuta a qualsiasi angolo è proporzionale a un piccolo angolo di incremento

d θ

$d\theta$ :

P (θ) α d θ = \frac{- 1}{f_{d} \sqrt{1 - {(\frac{f}{f_{d}})}^{2}}} d f

$P(\theta) \propto d\theta = \frac{-1}{f_d\sqrt{1-\left(\frac{f}{f_d}\right)^2}} df$

E la potenza totale può essere determinata integrando la quantità di cui sopra, che è identicamente ciò che definisce una densità spettrale di potenza.

— Robert L.
fonte

Grazie. La matematica è chiara, ma non risponde alla mia domanda. La mia domanda è qual è l'interpretazione fisica di questa distribuzione cos, o come il riflesso LoS e 180 ° cattura fisicamente la maggior parte dell'energia.

— AlexTP

I riflessi LoS e 180 gradi non catturano più energia - questo non è affermato dal modello. Sembra solo perché la trama con le singolarità è contro frequenza, non angolo. La mappatura non lineare tra frequenza e angolo è il motivo per cui appaiono le singolarità.

— Robert L.,

Grazie ancora, questo è ciò che voglio chiedere, la "mappatura non lineare". Sei d'accordo sul fatto che posso dire, in un'altra lingua, se prendiamo la stessa quantità di larghezza di banda

Δ f

$\Delta f$ per integrare, più vicina alle estremità dello spettro Doppler è questa banda, più angolo

d Θ

$d\Theta$ ci accumuliamo, e questo è il motivo per cui abbiamo più potere alle estremità?

— AlexTP,

Oltre alla risposta di Carlos, voglio correggere la tua comprensione generale:

Quello che ho capito della diffusione Doppler è che il movimento relativo tra trasmettitore (TX) e ricevitore (RX) cambia il tempo di esposizione del segnale. In rapporto a un TX-RX a distanza costante, uno spostamento l'uno verso l'altro TX-RX "comprime" il segnale nel tempo (il segnale impiega meno tempo a propagarsi), quindi il segnale viene "espanso" nel dominio della frequenza. Allo stesso modo, un RX-TX che si allontana "espande" il segnale nel tempo e "comprime" il suo spettro. In breve, questo sta ridimensionando la trasformata di Fourier .

La tua comprensione è corretta nel senso della banda larga. Tuttavia, il modello di Clarke si riferisce alla situazione a banda stretta, in cui viene data la diffusione Doppler $f_d=f_c \frac{v}{c}$ . In una situazione di banda larga, non si ha una frequenza portante. Nel modello Clarkes, si assume che la larghezza di banda $\Delta f$ del segnale è molto più piccolo di $f_c$ e il segnale è concentrato in $f_c\pm\frac{\Delta f}{2}$ . Nel modello di Clarke, ogni frequenza sperimenta lo stesso spostamento, ovvero X_ {out} (f) = X_ {in} (f-df), dove $df$ è lo spostamento istantaneo, $X_{in},X_{out}$ sono le trasformate di Fourier del segnale trasmesso e ricevuto. Questo è approssimativamente corretto, purché $\Delta f<<f_c$ . Nel tuo modello a banda larga, ogni frequenza subisce uno spostamento proporzionale alla frequenza, ad es $X_{out}(f)=X_{in}(\alpha f)$ con $\alpha=\frac{v}{c}$ .

EDIT: Lasciami spiegare un po 'di più in termini matematici:

In generale, data un'onda sinusoidale con frequenza $f$ che viene inviato a un ricevitore, dove TX e RX hanno una velocità relativa di $v$ , l'onda sinusoidale viene ricevuta con una frequenza $f(1\pm-\frac{v}{c})$ (segno a seconda della direzione del movimento).

Il presupposto della banda stretta ora dice che un segnale di trasmissione si trova attorno a una frequenza portante $f_c\pm\Delta f$ dove $2\Delta f<<f_c$ è la larghezza di banda del segnale (io uso $2\Delta f$ come larghezza di banda per la semplicità della notazione). Ora, supponi un'onda sinusoidale con frequenza $f_c-\Delta f$ viene trasmesso. Quindi, l'onda sinusoidale ricevuta ha una frequenza

f_{o u t} = f_{io n} (1 - \frac{v}{c}) = f_{c} (1 - \frac{v}{c}) - Δ f (1 - \frac{v}{c}) = f_{c} - Δ f - f_{c} \frac{v}{c} - Δ_{f} \frac{v}{c} \approx f_{io n} - f_{c} \frac{v}{c}

$f_{out}=f_{in}\left(1-\frac{v}{c}\right)=f_c\left(1-\frac{v}{c}\right)-\Delta f\left(1-\frac{v}{c}\right)=f_c-\Delta f - f_c\frac{v}{c} - \Delta_f\frac{v}{c}\approx f_{in}-f_c\frac{v}{c}$ da dove viene l'approssimazione

Δ f << f_{c}

$\Delta f << f_c$ . Come vedi, lo spostamento della frequenza non dipende dalla frequenza effettiva relativa alla frequenza portante. Questo è il presupposto della banda stretta.

Non voglio dire che l'effetto di diffusione Doppler non modifica la larghezza di banda di un segnale. In effetti, diffonde un segnale da $f_D=f_c\frac{v}{c}$ . Tuttavia, l'importante distinzione che voglio sottolineare è che nella banda stretta si può presumere che tutte le frequenze sperimentino lo stesso spostamento, mentre nella banda larga, lo spostamento dipende dalla frequenza effettiva. Il modello di Clarke vale per il caso a banda stretta, in quanto descrive la distribuzione dello spostamento di frequenza, quando un'onda sinusoidale con qualsiasi frequenza (all'interno della larghezza di banda) viene inviata al sistema.

— Maximilian Matthé
fonte

Grazie. Comunque non capisco. In che modo differiscono questi casi in banda larga e banda stretta? Posso dire in caso di banda stretta

X_{o u t} (f_{1}) = X_{i n} (α f_{1}), X_{o u t} (f_{2}) = X_{i n} (α f_{2})

$X_{out}(f_1) = X_{in}(\alpha f_1), X_{out}(f_2) = X_{in}(\alpha f_2)$ e il

f_{1} - f_{2} \approx α (f_{1} - f_{2})

$f_1 - f_2 \approx \alpha (f_1 - f_2)$ perché

a b s (f_{1} - f_{2}) << 1

$abs(f_1 - f_2) << 1$ ?. Lasciami esprimere la mia opinione in un altro modo, mi stai dicendo che la diffusione Doppler non cambia la larghezza di banda

Δ f

$\Delta f$ di segnale? La mia opinione è che la banda si espanda, ma l'espansione non è significativa a causa della natura (o condizione) della banda stretta

Δ f << f_{c}

$\Delta f << f_c$ .

— AlexTP

@AlexTP Ho aggiunto un po 'di matematica. derivazione, forse questo lo rende più chiaro?

— Maximilian Matthé,

Grazie. Capisco cosa intendi adesso. In effetti, abbiamo raccontato la stessa storia perché

f_{o u t} = f_{i n} (1 - \frac{v}{c})

$f_{out} = f_{in}(1-\frac{v}{c})$ è ancora un'operazione di ridimensionamento, ma l'approssimazione dei punti allo spostamento di frequenza costante è molto interessante. Potresti per favore approfondire "Il modello di Clarke tiene per il caso a banda stretta, in quanto descrive la distribuzione dello spostamento di frequenza"? Capisco che senza ipotesi a banda stretta, la formula dello spettro Doppler non è come quella che ho citato.

— AlexTP

Quello che voglio sapere è che se il supporto dello spettro Doppler dipende dal presupposto della banda stretta. Perché l'ho capito per una data frequenza, ogni angolo di arrivo

θ

$\theta$ crea un

f_{o u t} (θ)

$f_{out}(\theta)$ . Il percorso di riflessione di LoS e 180 gradi crea due estremità dello spettro Doppler e il supporto dovrebbe essere indipendente dalla natura del segnale trasmesso. Ciò che cambierà è solo lo spettro di potenza stesso.

— AlexTP

Ogni angolo di arrivo crea un diverso spostamento di frequenza

f (θ)

$f(\theta)$ , questo è

f_{o u t} = f_{i n} + f (θ)

$f_{out}=f_{in}+f(\theta)$ . In altri modi, penso che tu possa capire lo spettro Doppler come una funzione di densità di probabilità dello spostamento Doppler con esperienza, quando l'angolo di arrivo è equamente distribuito. Vale a dire, è molto probabile che lo spostamento sia

\pm f_{D}

$\pm f_D$ , ma non è molto probabile che il cambiamento sia

0

$0$ .

— Maximilian Matthé,