Identità di trasformata di Fourier

Conosciamo il seguito,

F { x ( - t ) } = X ( - f ) F { x ∗ ( t ) } = X ∗ ( - f

$$\mathscr{F}\big\{x(t)\big\}=X(f) \tag{1}$$ $$\mathscr{F}\big\{x(-t)\big\}=X(-f) \tag{2}$$ $$\mathscr{F}\big\{x^*(t)\big\}=X^*(-f) \tag{3}$$

Ora, se per qualche segnale

$$x(-t)=x^*(t) \tag{4}$$

Quindi, è sicuro assumere quanto segue?

$$X(-f)=X^*(-f) \tag{5}$$

o dipende dal tipo di segnale?

Hai ragione. La tua ultima equazione è semplicemente un modo stravagante per dire che è veramente apprezzato.$X(f)$

In generale: se è reale in un dominio, è coniugato simmetrico nell'altro.

Sì, se eqs. (2) e (3) valgono per qualsiasi "tipo di segnale" (che fanno), quindi (5) deve essere valido.

Inserendo (4) in (2) otteniamo e usando (3)

$$\mathscr{F}\big\{x^*(t)\big\} = X(-f)$$ $$X(-f) = X^*(-f)$$

Se sostituiamo otteniamo che, come ha già osservato Hilmar , significa che un valore reale. Ciò è prevedibile poiché, secondo (4), mostra la simmetria del complesso coniugato .$f = - g$

$$X(g) = X^*(g)$$ $X(f)$$x(t)$

Le risposte di @Deve e @Hilmar sono tecnicamente perfette. Vorrei fornire alcune informazioni aggiuntive, con alcune domande.

Innanzitutto, conosci un segnale che soddisfa questa identità di tempo inverso / coniugato :

$$x(−t)=x^*(t)\,?$$

Una prima idea ovvia è quella di scegliere tra segnali reali e simmetrici. Uno naturale nel framework di Fourier è il coseno .

Ora, cerchiamo di diventare un po 'più complesso (intento con giochi di parole).

Quindi secondo, che dire del vero seno ? È anti-simmetrico. Ma se ricordi che , anche la funzione diventa anche una soluzione. Quindi, per additività, la funzione$i^*=-i$$t\to i.\sin t$

$$t\to e^{i t}$$

(chiamato complesso esponenziale o cisoide ) è anche una soluzione . E la sua trasformata di Fourier (come funzione generalizzata) è davvero reale (anche se in qualche modo "infinita"). Andando oltre, qualsiasi combinazione lineare di cisoidi con coefficienti reali lo farà.

La tua domanda illustra quanto sia importante la dualità di Fourier e come utilizzarla possa semplificare alcuni problemi. Come visto in SIMMETRIA DEL DTFT PER SEGNALI REALI :

In altri termini, se un segnale è reale, il suo spettro è eremitico (`` coniugato simmetrico '').$x(n)$

Qui, il tuo segnale di base è Hermitian e la versione di Fourier è reale. Quindi, per capirlo meglio, immagina che sia una variabile di frequenza e sia il suo doppio tempo. La rappresentazione standard è fornita nell'analisi digitale dei segnali geofisici e delle onde / proprietà complesse di simmetria .$x$$t$$f$

Viene anche chiamato cavatappi / spirale Heyser .