Qual è la frequenza normalizzata

Sto lavorando su DSP e trovo difficoltà a comprendere il termine Frequenza normalizzata spesso utilizzata con DFT e DTFT.

Qual è la frequenza normalizzata in DSP? e come è diverso dalla frequenza analogica?

Qual è il significato per normalizzare la frequenza in DSP?

Perché il limite della frequenza normalizzata è 2π?

In che modo FFT gestisce la frequenza normalizzata?

dft

— user6363
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La frequenza normalizzata è la frequenza in unità di cicli / campione o radianti / campione comunemente utilizzati come asse di frequenza per la rappresentazione di segnali digitali.

Quando le unità sono cicli / campione, la frequenza di campionamento è 1 (1 ciclo per campione) e il segnale digitale univoco nella prima zona di Nyquist risiede da una frequenza di campionamento da -0,5 a +0,5 cicli per campione. Questa è l'equivalente in frequenza della rappresentazione dell'asse temporale in unità di campioni anziché in un intervallo di tempo effettivo come i secondi.

Quando le unità sono radianti / campione, la frequenza di campionamento è ( radianti per campione) e il segnale digitale univoco nella prima zona di Nyquist risiede da una frequenza di campionamento da a . $2\pi$ $2\pi$ $-\pi$ $+\pi$

Come ciò può essere visto dalle seguenti espressioni:

Per un segnale analogico dato come dove F è l'unità di frequenza analogica in Hz,

x (t) = \sin (2 π F t)

$x(t)=\sin(2\pi F t)$

Quando viene campionato ad una frequenza di campionamento di Hz, l'intervallo di campionamento è quindi il segnale dopo essere stato campionato viene dato come: $F_s$ $T_s=1/F_s$

x (n T_{s}) = \sin (2 π F n T_{s}) = \sin (\frac{2 π F}{F_{s}} n)

$x(nT_s)=\sin(2\pi F nT_s) = \sin\left(\frac{2\pi F}{F_s}n\right)$

Laddove le unità di frequenza normalizzata, sia in cicli / campione o in radianti / campione è chiaramente mostrato. $\frac{F}{F_s}$ $\frac{2\pi F}{F_s}$

Questo è illustrato di seguito usando $\Omega = 2\pi F$

Aggiornamento: Come sottolinea @ Fat32 nei commenti, le unità per la frequenza di campionamento nella figura seguente dovrebbero essere "campioni / sec" affinché la frequenza normalizzata diventi radianti / campione. $F_s$

Vedere visivamente il concetto di "radianti / campione" (e la maggior parte degli altri concetti di DSP che si occupano di frequenza e tempo) mi ha aiutato considerevolmente ad allontanarmi dal vedere i singoli toni di frequenza come seno e / o coseno e invece vederli come fasi di rotazione ( $e^{j\omega t} = 1 \angle (\omega t)$ ) come illustrato nel grafico seguente, che mostra un complesso fasore che gira a una frequenza di 2 Hz ed è associato coseno e seno (essendo l'asse reale e immaginario). Ogni punto in un DFT è un tono di frequenza individuale rappresentato come un singolo fasore rotante nel tempo. Un tale tono in un sistema analogico ruoterebbe continuamente (in senso antiorario se una frequenza positiva e in senso orario se una frequenza negativa) a rotazioni F al secondo, dove F è la frequenza in Hz, o cicli / secondo. Una volta campionata, la rotazione sarà alla stessa velocità ma sarà in campioni discreti in cui ogni campione è un angolo costante in radianti, e quindi la frequenza può essere quantificata come radianti / campione che rappresenta la velocità di rotazione del phasor.

— Dan Boschen
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Ero solo a metà del mio caffè! Errore completo, risolto ora

— Dan Boschen

La FFT utilizza in genere ancora un'altra unità per l'asse di frequenza indicato come Indice di frequenza che va da 0 a N-1 dove N è il numero di campioni utilizzati nella FFT. Questo si associa alla frequenza normalizzata equiparando N a 1 ciclo / campione. Pertanto, se si divide la frequenza FFT per N si ottiene la frequenza normalizzata in cicli / campione. Ad esempio, se ho 10 campioni nell'FFT in un sistema campionato a 100 Hz, i bin di frequenza nel risultato FFT passeranno da 0, 10, 20 .... 90 Hz. N-1 = 9 e 100 Hz rappresenta 1 campione per ciclo. Spero che abbia aiutato.

— Dan Boschen,

Sì, vedo, la frequenza di campionamento dovrebbe essere data in unità di "Campioni al secondo" per farlo funzionare, buon punto @ Fat32! Le unità coerenti sono importanti.

— Dan Boschen,

@ user6363 La frequenza di campionamento è 1 ciclo / campione significa che quando si utilizza la frequenza normalizzata, qualunque sia la frequenza di campionamento diventa 1 (ciclo per campione), ad esempio se la frequenza di campionamento è 100 MHz, quindi 100 MHz sono mappate su 1 e un tono a 25 MHz, ad esempio, mapperebbe a 0,25 (cicli / campione). Quando le unità sono radianti / campione, la frequenza di campionamento di 100 MHz si associa a e il tono a 25 MHz si associa a . Nel mio esempio la forma d'onda si estende in larghezza di banda da + 6π / 20 su una scala normalizzata radianti / campione. Se la frequenza di campionamento fosse di 100 MHz, questo sarebbe +/- 3/20 * 100 MHz = +/- 15 MHz

2 π

$2\pi$

0.5 π

$0.5\pi$

— Dan Boschen

No, ho detto che il cestino 9 è 90 Hz e che è corretto. È anche corretto che bin [9] sia -10 Hz. Guarda i grafici della frequenza che entrambi i e Fat32 hanno pubblicato e puoi vedere che le frequenze da 0 a F sono uguali a 0 a Fs / 2 e -Fs / da 2 a 0! Quindi per un FFT da 10 pt in un sistema da 100 Hz, le frequenze sono entrambe 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 E ugualmente 0, 10, 20, 30, 40, 50, - 40, -30, -20, -10! Dai un'occhiata a FFTSHIFT in Matlab mentre fa questa traduzione. Se questo è ancora fonte di confusione, sarebbe una domanda diversa da porre (o cercare se è già stata data una risposta)

— Dan Boschen

La figura seguente mostra anche una vista grafica semplificata della procedura di normalizzazione della frequenza a seguito del campionamento di un segnale a tempo continuo

— fat32
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