Qual è il significato fisico delle frequenze negative?

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Questo è stato uno dei buchi nel mio blocco di formaggio cheddar per comprendere il DSP, quindi qual è l'interpretazione fisica di avere una frequenza negativa?

Se hai un tono fisico ad una certa frequenza ed è DFT, otterrai un risultato sia in frequenza positiva che negativa - perché e come avviene? Cosa significa?

Modifica: 18 ottobre 2011. Ho fornito la mia risposta, ma ho ampliato la domanda per includere le radici del motivo per cui DEVONO esistere frequenze negative.

frequency

— Spacey
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electronics.stackexchange.com/questions/15539/…

— endolith

Grazie endolith, sarebbe possibile incrociare questa pagina con loro? Ho fornito una risposta alla mia domanda e vorrei condividerla anche con quel gruppo. Sembra che non abbia accesso a quell'area ...

— Spacey,

Dopo aver letto tutti i significati fisici delle frequenze negative, sono diventato più confuso. Sono un chimico. Mi occupo di molecole. Le frequenze negative indicano l'instabilità nelle molecole o, in altre parole, i punti di sella sulla superficie di energia potenziale. Una molecola stabile non dovrebbe avere frequenze immaginarie, uno stato di transizione dovrebbe averne una (punto di sella del 1 ° ordine). Perché una molecola non stabile dovrebbe avere frequenze negative (frequenze immaginarie) dopo tutto è complementare alla frequenza reale.

— Prabin Rai,

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Le frequenze negative di @PrabinRai e le frequenze immaginarie sono molto diverse. Una frequenza immaginaria trasforma un esponenziale complesso oscillante e limitato in un esponenziale ordinario in aumento esponenziale (o decrescente). Una frequenza negativa, come indicano le risposte di seguito, si riferisce alla "mano" dell'oscillazione. Sono ancora funzioni limitate, quindi immagino che sarebbe ancora "stabile".

— TC Proctor,

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La frequenza negativa non ha molto senso per i sinusoidi, ma la trasformata di Fourier non spezza un segnale in sinusoidi, ma lo scompone in esponenziali complessi (chiamati anche "sinusoidi complessi" o " cisoidi "):

F (ω) = \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- j ω t} d t

$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \color{Red}{e^{- j\omega t}}\,dt$

Queste sono in realtà spirali, che ruotano sul piano complesso:

tempo esponenziale complesso che mostra e assi reali e immaginari

( Fonte: Richard Lyons )

Le spirali possono essere mancine o destrorse (ruotando in senso orario o antiorario), da cui deriva il concetto di frequenza negativa. Puoi anche pensarlo come l'angolo di fase che va avanti o indietro nel tempo.

Nel caso di segnali reali, ci sono sempre due esponenziali complessi di uguale ampiezza, che ruotano in direzioni opposte, in modo che le loro parti reali si combinino e le parti immaginarie si annullino, lasciando come risultato solo una vera sinusoide. Ecco perché lo spettro di un'onda sinusoidale ha sempre 2 punte, una frequenza positiva e una negativa. A seconda della fase delle due spirali, potrebbero annullarsi, lasciando un'onda sinusoidale puramente reale, o un'onda coseno reale, o un'onda sinusoidale puramente immaginaria, ecc.

Le componenti di frequenza negativa e positiva sono entrambe necessarie per produrre il segnale reale, ma se sai già che è un segnale reale, l'altro lato dello spettro non fornisce alcuna informazione aggiuntiva, quindi spesso viene agitato a mano e ignorato. Nel caso generale di segnali complessi, è necessario conoscere entrambi i lati dello spettro delle frequenze.

— endolith
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Mi piace quella descrizione; Penso che il diagramma lo spieghi bene.

— Jason R,

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@endolith Nice post - L'ho visto dal libro di Lione tra l'altro. Mi sembra che il vero punto di "partenza" per tutte le oscillazioni sia nel dominio complesso e che accada solo che possiamo misurare solo oscillazioni realistiche che si verificano sull'asse reale. Quindi, quando un'onda fisica viene misurata, viene riportata INDIETRO nel dominio complesso, che è dove vediamo i suoi componenti in senso orario e antiorario. Il che è divertente perché i segnali "reali" finiscono per essere "due volte più complicati" dei segnali complessi ...

— Spacey,

@Mohammad: non so se esponenziali complessi siano più "fondamentali" dei sinusoidi in generale, sebbene siano nel caso della trasformata di Fourier. È possibile produrre esponenziali complessi aggiungendo sinusoidi e sinusoidi aggiungendo esponenziali complessi. Sono solo funzioni. I sinusoidi sono generalmente derivati da cerchi, che possono essere qualcosa nel piano complesso o possono essere solo l'altezza di un punto su una ruota che gira.

— endolith,

@endolith Right. Ne ho ampliato alcuni nel mio post. Ad ogni modo ottimo post (e grazie per il collegamento incrociato). Avere un voto! :-)

— Spacey,

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@Goldname I cisoidi con frequenza positiva e negativa vengono sommati. Le parti reali sono in fase e sommano insieme, le parti immaginarie sono opposte di polarità e si annullano

— endolito

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Supponiamo che tu abbia una ruota che gira. Come descriveresti la velocità con cui gira? Probabilmente diresti che gira a Xgiri al minuto (rpm). Ora, come si fa a comunicare in quale direzione gira con questo numero? È lo stesso numero di Xgiri se gira in senso orario o antiorario. Quindi ti gratti la testa e dici vabbè, ecco un'idea intelligente: userò la convenzione di +Xper indicare che gira in senso orario e -Xin senso antiorario. Ecco! Hai inventato rpms negativi!

La frequenza negativa non è diversa dal semplice esempio sopra riportato. Una semplice spiegazione matematica di come si manifesta la frequenza negativa può essere vista dalle trasformazioni di Fourier di sinusoidi di tono puro.

$e^{\jmath \omega_0 t}\longleftrightarrow \delta(\omega+\omega_0)$

\cos (ω_{0} t) = \frac{e^{ȷ ω_{0} t} + e^{- ȷ ω_{0} t}}{2}

$\cos(\omega_0 t)=\frac{e^{\jmath \omega_0t}+e^{-\jmath \omega_0 t}}{2}$

e quindi, la sua coppia di trasformate di Fourier (di nuovo, ignorando i moltiplicatori costanti):

\cos (ω_{0} t) ⟷ δ (ω + ω_{0}) + δ (ω - ω_{0})

$\cos(\omega_0 t)\longleftrightarrow \delta(\omega+\omega_0) + \delta(\omega-\omega_0)$

$\omega_0$ $-\omega_0$ $ae^{\jmath \omega_0 t}$

— Lorem Ipsum
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grazie per la risposta - capisco la matematica - e questo è qualcosa di base che conosco, ma non ci fornisce informazioni sul significato fisico ... Andando sul tuo esempio rotante - ok, quindi il segno della frequenza trasmette il ' direzione 'del cambio di fase. Abbastanza giusto, ma comunque, perché una sinusoide ha "due" frequenze, una positiva e una negativa? È perché la trasformata di Fourier è 'agnostico del tempo', e quindi puoi guardare una vera sinusoide nella vera direzione del tempo, prendere la tua + ve e guardare la stessa onda all'indietro nel tempo e ottenere la tua -ve? Grazie.

— Spacey,

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Non sono sicuro che ci sia una risposta concreta alla tua confusione. Il contenuto a frequenze negative è una conseguenza della definizione della trasformata di Fourier e non ha direttamente un significato fisico. La trasformata di Fourier non è intrinsecamente un'operazione "fisica", quindi non è necessario. La frequenza di una sinusoide è la derivata temporale della fase, niente di più. Le frequenze negative sono solo un artefatto matematico a cui alcune persone vengono attaccate, in modo simile all'uso di parti "immaginarie" di numeri complessi. Sono strumenti di analisi utilizzati per la modellazione, non necessariamente esistenti nel mondo fisico.

— Jason R,

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@Mohammad Sono d'accordo con Jason qui. Ad un certo punto, provare a costruire una spiegazione "fisica" per il gusto di farlo non può che peggiorare le cose. Non sono sicuro di poter spiegare meglio ...

— Lorem Ipsum,

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Una possibile spiegazione è che dal punto della trasformata di Fourier, una vera sinusoide è "davvero" la somma di due sinusoidi complessi che ruotano in direzioni opposte. Usando l'analogia delle ruote: immagina due ruote all'origine di un sistema di coordinate, girando alla stessa velocità ma in direzioni opposte, con un perno su ciascuna che inizia da (1,0). Ora aggiungi le coordinate di entrambi i pin: y sarà sempre 0 e x sarà una vera sinusoide.

— Sebastian Reichelt,

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@Mohammad Cosa ti rappresentano i numeri immaginari, in senso fisico?

— Lorem Ipsum,

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Attualmente, il mio punto di vista (è soggetto a modifiche) è il seguente

Per la ripetizione sinusoidale hanno senso solo le frequenze positive. L'interpretazione fisica è chiara. Per la ripetizione esponenziale complessa ha senso sia le frequenze positive che quelle negative. Potrebbe essere possibile associare un'interpretazione fisica alla frequenza negativa. L'interpretazione fisica della frequenza negativa ha a che fare con la direzione della ripetizione.

La definizione di frequenza fornita sul wiki è: "La frequenza è il numero di occorrenze di un evento ricorrente per unità di tempo"

Se attenersi a questa definizione la frequenza negativa non ha senso e quindi non ha interpretazione fisica. Tuttavia, questa definizione di frequenza non è completa per la ripetizione esponenziale complessa che può anche avere una direzione.

e^{j ω n} = \cos (ω n) + j \sin (ω n)

$e^{j\omega n} = \cos( \omega n) + j\, \sin(\omega n)$

x [n] = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} d ω X (e^{j ω}) e^{j ω n}

$x[n]= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi}\!\!\!d\omega \;\;\;\;X(e^{j\omega}) e^{j\omega n}$

Tuttavia, questo equivale a

x [n] = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{π} d ω [a (ω) \cos (ω n) + b (ω) \sin (ω n)] = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{π} d ω α (ω) \sin (ω n + ϕ (ω))]

$x[n] = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\pi}\!\!d\omega \;\;[a(\omega) \cos(\omega n) + b(\omega) \sin(\omega n)] = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\pi}\!\!d\omega \;\; \alpha(\omega) \sin(\omega n + \phi(\omega))]$

Quindi, invece di considerare un "asse di frequenza sinusoidale" positivo, viene considerato un "asse di frequenza esponenziale complesso" negativo e positivo. Sull'asse di frequenza esponenziale complesso, per segnali reali, è noto che la parte di frequenza negativa è ridondante e viene considerato solo l '"asse di frequenza esponenziale complesso" positivo. Nel fare questo passo implicitamente sappiamo che l'asse della frequenza rappresenta una ripetizione esponenziale complessa e non ripetizione sinusoidale.

La ripetizione esponenziale complessa è una rotazione circolare nel piano complesso. Per creare una ripetizione sinusoidale sono necessarie due ripetizioni esponenziali complesse, una ripetizione in senso orario e una ripetizione in senso antiorario. Se viene costruito un dispositivo fisico che produce una ripetizione sinusoidale ispirata al modo in cui la ripetizione sinusoidale viene creata nel piano complesso, cioè da due dispositivi fisicamente rotanti che ruotano in direzioni opposte, si può dire che uno dei dispositivi rotanti ha un negativo frequenza e quindi la frequenza negativa ha un'interpretazione fisica.

— niaren
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Mi piace la tua spiegazione ... lentamente sta emergendo un'immagine, vedi la mia risposta / modifica alla domanda.

— Spacey,

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In molte applicazioni comuni le frequenze negative non hanno alcun significato fisico diretto. Si consideri un caso in cui vi è una tensione di ingresso e di uscita in alcuni circuiti elettrici con resistori, condensatori e induttori. Esiste semplicemente una tensione di ingresso reale con una frequenza e una singola tensione di uscita con la stessa frequenza ma ampiezza e fase diverse.

L'unica ragione per cui dovresti considerare segnali complessi, trasformazioni di Fourier complesse e matematica phasor a questo punto è matematicamente convenienza. Potresti farlo altrettanto bene con la matematica completamente reale, sarebbe molto più difficile.

Esistono diversi tipi di trasformazioni tempo / frequenza. La trasformata di Fourier utilizza un esponenziale complesso come sua funzione di base e applicata a una singola onda sinusoidale con valore reale produce risultati a due valori che vengono interpretati come frequenza positiva e negativa. Esistono altre trasformazioni (come la trasformata discreta di coseno) che non produrrebbero affatto frequenze negative. Ancora una volta, è una questione di convenienza matematica; la trasformata di Fourier è spesso il modo più rapido ed efficiente per risolvere un problema specifico.

— Hilmar
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Sono d'accordo, è certamente molto più conveniente lavorare nel dominio complesso - il "problema" si insinua perché alcuni individui affermano che non vi è alcun significato fisico per le frequenze negative, ma in qualche modo possiedono energia nel dominio delle frequenze. Bene, se non sono "davvero lì", allora dov'è questa energia?

— Spacey,

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Dovresti studiare la trasformata o la serie di Fourier per capire la frequenza negativa. In effetti Fourier ha dimostrato che possiamo mostrare tutte le onde usando alcuni sinusoidi. Ogni sinusoide può essere mostrato con due picchi alla frequenza di questa onda, uno sul lato positivo e uno sul lato negativo. Quindi il motivo teorico è chiaro. Ma per la ragione fisica, vedo sempre che la gente dice che la frequenza negativa ha solo un significato matematico. Ma immagino un'interpretazione fisica che non sono abbastanza sicuro; Quando studi il movimento circolare come principale delle discussioni sulle onde, la direzione della velocità del movimento sul semicerchio è inversa dell'altra metà. Questo può essere il motivo per cui abbiamo due picchi in entrambi i lati del dominio della frequenza per ogni onda sinusoidale.

— Hossein
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Hossein, sì, sono d'accordo che fosse stato confuso per un po '. Sto aspettando su Yoda il suo feedback, ma se è semplicemente il segno del derivato della fase, allora vedo un problema linguistico - forse la fonte di confusione con le altre persone con cui ho parlato anche di questo. Il significato fisico di una "frequenza" è "il tasso di oscillazione" di qualcosa, il significato deve essere positivo. È qui che penso che le definizioni differiscano da quelle in fisica.

— Spacey,

Si prega di guardare la pagina en.wikipedia.org/wiki/Circular_motion; e quindi f e w hanno una relazione diretta. In ogni onda, la direzione della velocità viene modificata per avere un'oscillazione completa. Dobbiamo sempre preoccuparci che un'onda reale abbia bisogno di due aliquote per essere completa. In pratica, quando lavori con l'analizzatore di spettro, hai appena una parte positiva perché è sufficiente. La parte negativa è abbastanza significativa perché in caso di spostamento, è possibile vedere questa parte negativa sull'analizzatore di spettro che mostra solo parti positive.

w = 2 * π / T

$w=2∗π/T$

f = 1 / T

$f=1/T$

— Hossein,

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Qual è il significato della distanza negativa? Una possibilità è che sia per la continuità, quindi non è necessario capovolgere il pianeta Terra ogni volta che si cammina attraverso l'equatore e si desidera tracciare la propria posizione a nord con una prima derivata continua.

Lo stesso vale per la frequenza, quando si potrebbero fare cose come la modulazione FM con una modulazione più ampia della frequenza portante. Come lo tratteresti?

— hotpaw2
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Vedi la mia nuova risposta / modifica alla domanda

— Spacey,

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Un modo semplice di pensare al problema è di immaginare un'onda stazionaria. L'onda stazionaria (nel dominio del tempo) può essere rappresentata come una somma di due onde mobili che si muovono in modo opposto (nel dominio della frequenza con vettore k positivo e negativo o + w e -w che è equivalente). Ecco la risposta sul perché hai due componenti di frequenza nella FFT. FFT è fondamentalmente una somma (convoluzione) di molte di queste onde che viaggiano in modo opposto che rappresentano la tua funzione nel dominio del tempo.

— user3320933
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Una volta, per ottenere la risposta giusta per il potere, dovevi raddoppiare la risposta. Ma se ti integri da meno infinito a più infinito otterrai la risposta giusta senza il doppio arbitrario. Quindi dissero che dovevano esserci frequenze negative. Ma nessuno li ha mai trovati davvero. Sono quindi immaginari o almeno da un punto di vista fisico inspiegabile.

— Doug Barr
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Questo si è rivelato essere un argomento piuttosto caldo.

Dopo aver letto la ricca moltitudine di opinioni e interpretazioni buone e diverse e aver lasciato che il problema mi scendesse in testa per un po ', credo di avere un'interpretazione fisica del fenomeno delle frequenze negative. E credo che l'interpretazione chiave qui sia che Fourier sia cieco al tempo. Espandendo ulteriormente questo:

Si è parlato molto della "direzione" della frequenza, e quindi di come può essere + ve o -ve. Mentre le intuizioni generali degli autori affermano che ciò non è perso, questa affermazione è tuttavia incompatibile con la definizione di frequenza temporale, quindi prima dobbiamo definire i nostri termini con molta attenzione. Per esempio:

La distanza è uno scalare (può essere sempre + ve), mentre lo spostamento è un vettore. (ovvero, ha direzione, può essere + ve o -ve per illustrare l'intestazione).
La velocità è uno scalare (può essere solo + ve), mentre la velocità è un vettore. (cioè, ancora una volta, ha una direzione e può essere + ve o -ve).

Quindi con gli stessi token,

La frequenza temporale è uno scalare, (può essere solo + ve)! La frequenza è definita come numero di cicli per unità di tempo. Se questa è la definizione accettata, non possiamo semplicemente affermare che sta andando in "una direzione diversa". Dopotutto è uno scalare. Invece, dobbiamo definire un nuovo termine: l'equivalente vettoriale della frequenza. Forse la "frequenza angolare" sarebbe la giusta terminologia qui, e in effetti è proprio ciò che misura una frequenza digitale .

Ora, all'improvviso, ci occupiamo di misurare il numero di rotazioni per unità di tempo (una quantità vettoriale che può avere direzione), VS solo il numero di ripetizioni di alcune oscillazioni fisiche.

Pertanto, quando chiediamo l'interpretazione fisica delle frequenze negative, ci chiediamo anche implicitamente come le misure scalari e molto reali del numero di oscillazioni per unità di tempo di alcuni fenomeni fisici come onde su una spiaggia, corrente alternata sinusoidale su un filo, mappare su questa frequenza angolare che ora all'improvviso sembra avere una direzione, in senso orario o antiorario.

Da qui, per arrivare a un'interpretazione fisica delle frequenze negative, è necessario tenere conto di due fatti. Il primo è che, come sottolineato da Fourier, un tono reale oscillatorio con frequenza temporale scalare, f , può essere costruito aggiungendo due toni complessi oscillatori, con frequenze angolari vettoriali, + w e -w insieme.

\cos (ω_{0} t) = \frac{e^{ȷ ω_{0} t} + e^{- ȷ ω_{0} t}}{2}

$\cos(\omega_0 t)=\frac{e^{\jmath \omega_0t}+e^{-\jmath \omega_0 t}}{2}$

È fantastico, ma che importa? Bene, i toni complessi ruotano in direzioni opposte. (Vedi anche il commento di Sebastian). Ma qual è il significato delle "direzioni" qui che danno alle nostre frequenze angolari il loro stato vettoriale? Quale quantità fisica si riflette nella direzione di rotazione? La risposta è tempo. Nel primo tono complesso, il tempo viaggia nella direzione + ve, e nel secondo tono complesso, il tempo viaggia nella direzione -ve. Il tempo sta andando indietro.

Tenendo presente questo e prendendo una rapida diversione per ricordare che la frequenza temporale è la prima derivata della fase rispetto al tempo, (semplicemente il cambiamento di fase nel tempo), tutto inizia a prendere posto:

L'interpretazione fisica delle frequenze negative è la seguente:

La mia prima realizzazione è stata che Fourier è agnostico nel tempo . Cioè, se ci pensate, non c'è nulla nell'analisi di Fourier o nella trasformazione stessa che può dirvi quale sia la "direzione" del tempo. Ora, immagina un sistema che oscilli fisicamente (cioè una vera sinusoide, una corrente su un filo) che oscilli ad una certa frequenza temporale scalare, f .

Immagina di 'guardare' lungo questa onda, nella direzione in avanti del tempo mentre progredisce. Ora immagina di calcolare la sua differenza di fase in ogni momento nel tempo che avanzi ulteriormente. Questo ti darà la tua frequenza temporale scalare e la tua freschezza è positiva. Fin qui tutto bene.

Ma aspetta un minuto: se Fourier è cieco al tempo, allora perché dovrebbe considerare la tua onda solo nella direzione del tempo "in avanti"? Non c'è nulla di speciale in quella direzione nel tempo. Pertanto, per simmetria, deve essere considerata anche l'altra direzione del tempo. Quindi ora immagina di "guardare" la stessa onda (cioè indietro nel tempo) e di eseguire lo stesso calcolo delta-fase. Dato che il tempo sta tornando indietro ora e la tua frequenza è di cambiamento di fase / (tempo negativo), la tua frequenza sarà ora negativa!

Ciò che Fourier sta realmente dicendo è che questo segnale ha energia se riprodotto in avanti nel tempo con il bin di frequenza f, ma ANCHE ha energia se riprodotto indietro nel tempo anche se con il bin di frequenza -f. In un certo senso DEVE dirlo perché Fourier non ha modo di "conoscere" quale sia la "vera" direzione del tempo!

Quindi come fa Fourier a catturarlo? Bene, per mostrare la direzione del tempo, una rotazione di qualche tipo deveessere impiegato in modo tale che una rotazione in senso orario si occupa di "guardare" il segnale nella freccia in avanti del tempo, e una rotazione in senso antiorario si occupa di "guardare" il segnale come se il tempo stesse andando indietro. La frequenza temporale scalare che tutti conosciamo dovrebbe ora essere uguale al valore assoluto (ridimensionato) della nostra frequenza angolare vettoriale. Ma come può un punto che indica lo spostamento di un'onda sinusoidale arrivare al suo punto di partenza dopo un ciclo ma allo stesso tempo ruotare attorno a un cerchio e mantenere una manifestazione della frequenza temporale che indica? Solo se gli assi principali di quel cerchio sono composti dalla misurazione dello spostamento di questo punto rispetto alla sinusoide originale e da una sinusoide di 90 gradi. (Questo è esattamente il modo in cui Fourier ottiene il suo seno e le basi del coseno contro cui proietti ogni volta che esegui un DFT!). E infine, come possiamo mantenere separati quegli assi? La "j" garantisce che la grandezza su ciascun asse sia sempre indipendente dalla grandezza sull'altro, poiché i numeri reali e immaginari non possono essere aggiunti per produrre un nuovo numero in entrambi i domini. (Ma questa è solo una nota a margine).

Quindi in sintesi:

La trasformata di Fourier è agnostica nel tempo. Non può dire la direzione del tempo. Questo è al centro delle frequenze negative. Poiché frequenza = cambio di fase / tempo, ogni volta che prendi il DFT di un segnale, Fourier sta dicendo che se il tempo andava avanti, la tua energia si trova sull'asse della frequenza + ve, ma se il tuo tempo andava indietro, la tua energia è situato sull'asse di frequenza -ve.

Come il nostro universo ha dimostrato prima , è proprio perché Fourier non conosce la direzione del tempo, che entrambi i lati della DFT devono essere simmetrici e perché l'esistenza di frequenze negative è necessaria e in effetti molto reale.

— Spacey
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Penso che stai leggendo un po 'troppo in questo nel tentativo di giustificare una risposta che hai già deciso. Le radici delle frequenze "negative" sono state evidenziate in altre risposte. La trasformata di Fourier utilizza esponenziali complessi come sue funzioni di base. La loro natura complessa consente di discriminare il segno della frequenza esponenziale con l'aumentare del tempo. Esponenziali complessi sono interessanti perché sono autofunzioni di sistemi lineari invarianti di tempo. Ciò rende l'FT molto utile come strumento di analisi dei segnali e dei sistemi.

— Jason R,

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Le frequenze negative che esistono nella decomposizione complesso-esponenziale dei segnali fanno parte del pacchetto che accompagna l'uso della trasformata di Fourier. Non è necessario fornire una spiegazione complicata e qualitativa di ciò che devono significare.

— Jason R,

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Inoltre, penso che il tuo primo proiettile potrebbe essere in errore; Ho sempre sentito la distanza definita scalare, mentre lo spostamento è una quantità vettoriale.

— Jason R,

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Inoltre, oltre a quello che ha detto Jason, non riesco davvero a vedere l'aspetto "fisico" in questa risposta, che hai detto che mancava in tutti gli altri ...

— Lorem Ipsum,

@JasonR So che il mio post è lungo, ma per favore non cerco di leggere il mio post (completamente) prima di commentare su di essa in futuro. Quando lo fai vedrai che non è complicato ma si adatta perfettamente a ciò che sappiamo finora. Vedrai come la mia spiegazione è effettivamente derivata e costruita da tutte le risposte precedenti e dalle mie ricerche in letteratura.

— Spacey,