Come gestite le frequenze negative nello spettro di potenza di un segnale complesso?

Quando applichiamo l'operazione DFT su un segnale reale per ottenere , quindi prendiamo la grandezza quadrata di , , lo spettro di potenza è simmetrico. Puoi prendere le frequenze positive o le frequenze negative come informazioni sulla frequenza in . $x[n]$ $X[k]$ $X[k]$ $\lvert X[k]\rvert^2$ $X[k]$

Tuttavia, ciò non è vero per segnali con valori complessi; lo spettro di potenza non è simmetrico.

In questo caso, come determinereste i componenti di frequenza nel segnale originale?
Possiamo semplicemente eliminare la parte di frequenza negativa?

fft frequency-spectrum

— Mike
fonte

Si noti che le frequenze positive e negative sono combinazioni lineari di seno e coseno, quindi sono necessarie frequenze positive e negative per ottenere la fase giusta. Per segnali complessi, è necessario aggiungere la potenza in entrambe le frequenze per ottenere la potenza totale a quella frequenza.

— Christopher Crawford,

Risposte:

Per un segnale reale, il contenuto alle frequenze negative generate utilizzando il DFT è ridondante. Ciò è dovuto alla ben nota proprietà dei segnali reali rispetto alla famiglia di trasformate di Fourier: le loro trasformazioni sono simmetriche ermitiane . Cioè, per qualsiasi segnale reale , $x[n]$

X [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π n k / N} = (\sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j (- 2 π n k / N)})^{*} = X [- k] = X [N - k]

$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1}x[n] e^{-j2\pi n k / N} = (\sum_{n=0}^{N-1}x[n] e^{-j(-2\pi n k / N)})^* = X[-k] = X[N - k]$

Quindi, se il tuo input è un segnale reale, tutte le informazioni si trovano nei bin di frequenza positiva; le frequenze negative possono essere scartate per molte applicazioni. Tuttavia, non esiste una tale proprietà per segnali complessi generali. Possono avere spettri di potenza asimmetrici rispetto alla frequenza zero, quindi non è possibile scartare nessuno dei bin di frequenza dello spettro di potenza di un segnale complesso senza perdita di informazioni.

— Jason R
fonte

Penso che la relazione tra

sia:

X [k]

$X[k]$

X [N - k]

$X[N-k]$

X [N - k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π n (N - k) / N} = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π N n / N} e^{j 2 π n k / N} = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{j 2 π n k / N} = (X [k])^{*}

$X[N-k] = \sum_{n=0}^{N-1}x[n] e^{-j2\pi n (N-k) / N} = \sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi N n/N} e^{j2\pi n k / N} =\sum_{n=0}^{N-1}x[n] e^{j2\pi n k / N}=(X[k])^*$

— Mike

X [- k]

$X[-k]$

X [N - k]

$X[N-k]$

In caso di reale possiamo cadere ad esempio quando si utilizza l'analizzatore di spettro, per un'onda reale è più semplice vedere la metà perché l'altro lato è specchio. Ma in caso di segnale complesso, nessun dispositivo reale risponde e si hanno studi teorici, quindi è necessario mantenere entrambi i lati.

— Hossein
fonte

se ho un segnale complesso composto da due frequenze vicine, nel PSD, trovo che il lato della frequenza positiva mostra due picchi, mentre il lato negativo mostra un picco. Quindi, posso arrivare alla conclusione che il segnale ha due frequenze?

— Mike,

No, non puoi dirlo perché il segnale è complesso.

— Hossein,

qual è il significato fisico per la frequenza negativa?

— Mike,

@Mike dsp.stackexchange.com/questions/431/…

— GummiV

@Mike Credo di aver risposto che ... [per favore vedi] ( dsp.stackexchange.com/questions/431/… )

— Spacey,