Sostituendo "e" nella formula di Eulero con un altro numero


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La formula di Eulero rimane valida se utilizziamo un numero reale diverso dalla costante ? Ad esempio, la sostituzione di con 5 farebbe apparire la formula in questo modo: .ee5it

Ho provato questa idea in Matlab e ho sostituito con pochi altri numeri reali (ad es. 1.5, 10, 2.1) e ogni volta la trama mostrava ancora ciò che sembrava coseno e onde sinusoidali. La frequenza di cos e sin stava cambiando a seconda della base.e

Ecco approssimativamente il mio approccio:

w = freq * 2 * pi;
t = 0:0.001:1000 ;

a = real( number ^ (i*wt) ) ; % cos in Euler's formula
b = imag( number ^ (i*wt) ) ; % sin in Euler's formula

 Esempio di trama di componenti reali e immaginari di: 1.5 ^ (i * 2 * pi * 100 * t)

Risposte:


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Supponi di essere interessato a Nota che quindi può essere scritto come

(1)Mj2πf0t.
M=elogM,
(1)

Mj2πf0t=(elogM)j2πf0t=ej2π(f0logM)t=cos(2π(f0logM)t)+jsin(2π(f0logM)t),
che è una sinusoide complessa con la frequenza . Questo è il motivo per cui l'uso di invece di provoca una variazione di frequenza.f0logMMe

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È una domanda interessante Vediamo quali numeri diversi da zero complessi hanno la proprietà che essi "si comportano come " nella formula classica, vale a dire, che per tutti complesso . Per comodità, supponiamo di poter scriverewe

ez=wz
z=x+iy
w=reit

Il simbolo accetta i possibili valori multipli wz

wz=ezlogw=e(x+iy)(lnr+it+2kπipossible values of logw)=e(xlnryt2kπy)+i(ylnr+xt+2kπx)

Questo significa che avremo quando per alcuni . Ma questo significa (equiparando parti reali e immaginarie su entrambi i lati) Questo può succedere per tutti (cioè tutti ) solo se et .ez=wz

(x+yi)[(xlnryt2kπy)+i(ylnr+xt+2kπx)]=2πni
n
{x=xlnryt2kπyy=ylnr+xt+2kπx+2πn
zx,yr=et=k=n=0

Ma ciò significa , quindi non esiste un altro numero complesso che possa fare il trucco.w=ee0i=ew


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Per ogni a, perché " " e "ln (x)" sono "funzioni inverse. Quindi . Quindia=eln(a)ex

ait=eln(ait)=eitln(a)
ait=ei(tln(a))=cos(tln(a))+isin(tln(a)).

Per positivoa
Laurent Duval,

@HallsofIvy: Questo non è del tutto corretto. Anche assumendo , accetta più valori: (prendendo recupera il tuo valore specifico). Se è negativo o non reale, è ancora più complicato. a>0ait
ait=eit(lna+2πki)=e2πkt+itlna=e2πkt(cos(tlna)+isin(tlna))
k=0a
MPW,
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