Qual è la differenza tra PSD e ampiezza quadrata dello spettro delle frequenze?

Lo spettro di potenza di un segnale può essere calcolato prendendo la grandezza quadrata della sua trasformata di Fourier. Essendo una persona audio, il segnale di interesse per me sarebbe una serie temporale.

In che modo questa rappresentazione differisce da un PSD (densità spettrale di potenza) e, soprattutto, in quali situazioni pratiche si dovrebbe usare un PSD invece dello spettro di potenza sopra descritto?

— learnvst
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La densità spettrale di potenza descrive la densità di potenza in un processo casuale stazionario per unità di frequenza. Con il teorema di Wiener-Khinchin , può essere calcolato come segue per un processo casuale stazionario di ampio senso : $X(t)$

S_{x x} (f) = \int_{- \infty}^{\infty} r_{x x} (τ) e^{- j 2 π f τ} d τ

$S_{xx}(f) = \int_{-\infty}^{\infty} r_{xx}(\tau) e^{-j2\pi f \tau} d\tau$

dove $r_{xx}(\tau)$ è la funzione di autocorrelazione del processo $X(t)$ :

r_{x x} (τ) = E (X (t) X (t - τ))

$r_{xx}(\tau) = \mathbb{E}\left(X(t)X(t - \tau)\right)$

$\tau$ $t$

Detto questo, se hai un modello statistico sufficientemente dettagliato e accurato per il tuo segnale, puoi calcolare la sua densità spettrale di potenza usando la relazione sopra. A titolo di esempio, questo può essere usato per calcolare la densità spettrale di potenza dei segnali di comunicazione, date le statistiche dei simboli di informazione trasportati dal segnale e qualsiasi forma di impulso impiegata durante la trasmissione.

Nella maggior parte delle situazioni pratiche, questo livello di informazioni non è disponibile, tuttavia, e si deve ricorrere alla stima della densità spettrale di potenza di un dato segnale. Un approccio molto semplice è quello di prendere la grandezza quadrata della sua trasformata di Fourier (o, forse, la grandezza quadrata di diverse trasformate di Fourier di breve durata e farle una media) come stima del PSD. Tuttavia, supponendo che il segnale che stai osservando contenga alcuni componenti stocastici (che è spesso il caso), questo è di nuovo solo una stimadi ciò che il vero PSD sottostante si basa su una singola realizzazione (cioè una singola osservazione) del processo casuale. Se lo spettro di potenza che si calcola assomiglia in modo significativo alla PSD effettiva del processo dipende dalla situazione.

Come indicato in questo post precedente , ci sono molti metodi per la stima del PSD; quale è più adatto dipende dal carattere del processo casuale, dalle informazioni a priori che potresti avere e dalle caratteristiche del segnale che ti interessano di più.

— Jason R
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Concordo, ma vorrei sottolineare che qualsiasi misura esplorativa del rumore / segnale del mondo reale è solo una stima. Accettando che dobbiamo formulare "abbastanza buono"; un criterio. Quindi possiamo scendere dal treno del rumore e accettare un preventivo che soddisfi la "cifra del rumore" dell'applicazione. Accetta alcuni fallimenti nella vita e puoi avere delle vittorie.

— rrogers