Qual è il significato fisico della convoluzione di due segnali?

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Se contiamo 2 segnali otteniamo un terzo segnale. Cosa rappresenta questo terzo segnale in relazione ai segnali di ingresso?

convolution

— pj
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mathoverflow.net/questions/5892/what-is-convolution-intuitively

— Atul Ingle

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È solo "inverti, sposta, moltiplica e somma", non di più.

— Chaohuang,

Ha il significato di "media", in termini di elaborazione del segnale che potrebbe significare la rimozione di componenti ad alta frequenza.

— Giwrgos Rizeakos,

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Sono alla ricerca di una risorsa che spieghi il significato fisico della convoluzione da un po 'di tempo e finalmente l'ho trovata qui: colah.github.io/posts/2014-07-Understanding-Convolutions

— faridghar

considera qualsiasi sistema fisico o meccanico, quindi l'input per il sistema è x (n), i parametri che abbiamo già definito è h (n). la funzione di lavoro per il funzionamento del sistema è y (N) = x (N) * h (N) ex: considera l'onda sinusoidale come input per un moltiplicatore generalmente il moltiplicatore funziona con così tanti circuiti analogici, possiamo cambiare le prestazioni del dispositivo semplicemente variando parametri quindi i parametri che passiamo sono h (n)

— user6151179

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Non c'è in particolare alcun significato "fisico" nell'operazione di convoluzione. L'uso principale della convoluzione in ingegneria è nel descrivere l'output di un sistema lineare, invariante nel tempo (LTI) . Il comportamento input-output di un sistema LTI può essere caratterizzato tramite la sua risposta all'impulso e l'uscita di un sistema LTI per qualsiasi segnale di input può essere espressa come la convoluzione del segnale di input con la risposta all'impulso del sistema. $x(t)$

Vale a dire, se il segnale viene applicato a un sistema LTI con risposta all'impulso , il segnale di uscita è: $x(t)$ $h(t)$

y (t) = X (t) * h (t) = \int_{- \infty}^{\infty} X (τ) h (t - τ) d τ

$y(t) = x(t) * h(t) = \int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t - \tau)d\tau$

Come ho detto, non c'è molta interpretazione fisica, ma puoi pensare a una convoluzione qualitativamente come "spalmare" l'energia presente in in qualche modo nel tempo, a seconda della forma della risposta all'impulso . A livello di ingegneria (i rigorosi matematici non approverebbero), è possibile ottenere alcune informazioni osservando più da vicino la struttura dell'integrando stesso. Puoi pensare all'uscita come alla somma di un numero infinito di copie della risposta all'impulso, ciascuna spostata di un ritardo leggermente diverso ( ) e ridimensionata in base al valore del segnale di ingresso al valore di $x(t)$ $h(t)$ $y(t)$ $\tau$ $t$ che corrisponde al ritardo: . $x(\tau)$

Questo tipo di interpretazione è simile a portare la convoluzione a tempo discreto (discussa nella risposta di Atul Ingle) al limite di un periodo di campionamento infinitamente breve, che di nuovo non è completamente matematicamente valido, ma costituisce un modo decentemente intuitivo per visualizzare l'azione per un sistema a tempo continuo.

— Jason R
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L'integrando dovrebbe essere

x (τ) h (t - τ) .

$x(\tau) h(t-\tau).$

— Atul Ingle,

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Ma questo non sta semplicemente spostando il segnale e quindi prendendo la somma dell'uscita, uno dei segnali viene prima invertito a differenza della correlazione. E se uno dei segnali è la risposta all'impulso, allora è ok, ma cosa succede se due segnali sono diversi come contorti 2 immagini.

— pj

@ParagJain: In realtà, sta solo prendendo la somma di molte (in realtà un numero infinito) di copie ridimensionate della risposta all'impulso. Il termine di risposta all'impulso

non è invertito rispetto alla variabile temporale

. Per la correlazione incrociata, come hai notato, il segno su

all'interno dell'argomento della risposta all'impulso viene cambiato in

. Non importa se

è davvero la risposta di un sistema LTI o no; potrebbe essere un'immagine come da te proposta o qualsiasi segnale per quella materia. L'azione di sbavatura creata dalla convoluzione è la stessa, come descritto nelle risposte qui.

h (t - τ)

$h(t-\tau)$

t

$t$

τ

$\tau$

+

$+$

h (t)

$h(t)$

— Jason R

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Una spiegazione intuitiva particolarmente utile che funziona bene per segnali discreti è pensare alla convoluzione come una "somma ponderata di echi" o "somma ponderata di memorie".

Per un momento, supponiamo che il segnale di ingresso a un sistema LTI discreto con funzione di trasferimento sia un impulso delta . La convoluzione è $h(n)$ $\delta(n-k)$ Questa è solo un'eco (o memoria) della funzione di trasferimento con ritardo di k unità.

\begin{array}{rcl} y (n) & = & \sum_{m = - \infty}^{\infty} δ (m - k) h (n - m) \\ = & h (n - k) . \end{array}

$\begin{eqnarray} y(n) &=& \sum_{m=-\infty}^{\infty} \delta(m-k) h(n-m) \\ &=& h(n-k). \end{eqnarray}$

Ora pensa a un segnale di ingresso arbitrario come una somma di funzioni ponderate . Quindi l'output è una somma ponderata delle versioni ritardate di h (n). $x(n)$ $\delta$

Ad esempio, se , quindi scrivi . $x(n) = \{1, 2, 3\}$ $x(n) = \delta(n) + 2 \delta(n-1) + 3 \delta(n-2)$

L'output del sistema è una somma degli echi , e con pesi appropriati 1, 2 e 3, rispettivamente. $h(n)$ $h(n-1)$ $h(n-2)$

Quindi . $y(n) = h(n) + 2h(n-1)+3h(n-2)$

— Atul Ingle
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Potrebbe essere molto utile aggiungere una rappresentazione grafica di ciascuna delle tue equazioni. Alcune persone (come me) hanno una migliore comprensione della convoluzione quando la guardano visivamente.

— PhilMacKay,

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@PhilMacKay Per una rappresentazione grafica (in realtà una rappresentazione tabellare) della convoluzione discreta, vedere questa risposta .

— Dilip Sarwate,

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Gli "echi" dovrebbero davvero essere sostituiti dai "ricordi". Ricordo di cose passate: Proust.

— rrogers

Per una rappresentazione grafica che mostra la convoluzione di due segnali box-car, consultare blog.mbedded.ninja/programming/signal-processing/convolution

— gbmhunter

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Un buon modo intuitivo per comprendere la convoluzione è guardare il risultato della convoluzione con una fonte puntuale.

Ad esempio, la convoluzione 2D di un punto con l'ottica difettosa di Hubble Space Telescope crea questa immagine:

Ora immagina cosa succede se ci sono due (o più) stelle in una foto: ottieni questo schema due volte (o più), centrato su ogni stella. La luminosità del modello è correlata alla luminosità di una stella. (Nota che una stella è praticamente sempre una fonte puntuale.)

Questi motivi sono fondamentalmente la moltiplicazione della sorgente puntiforme con il motivo contorto, con il risultato memorizzato nel pixel in modo tale da riprodurre il motivo quando l'immagine risultante viene visualizzata nella sua interezza.

Il mio modo personale di visualizzare un algoritmo di convoluzione è quello di un ciclo su ogni pixel dell'immagine sorgente. Su ogni pixel, si moltiplica per il valore del modello contorto e si memorizza il risultato sul pixel la cui posizione relativa corrisponde al modello. Fatelo su ogni pixel (e sommate i risultati su ogni pixel) e otterrete il risultato.

— PhilMacKay
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Pensa a questo ... Immagina un tamburo che lo stai battendo ripetutamente per ascoltare la musica, giusto? La vostra bacchetta di tamburo atterrerà sulla membrana per la prima volta a causa dell'impatto che vibrerà, quando la colpite per la seconda volta, le vibrazioni dovute al primo impatto sono già diminuite in una certa misura. Quindi qualunque suono tu ascolti è il battito e la somma attuali della risposta decaduta degli impatti precedenti. Quindi se è la forza di impatto al momento , allora l'impatto sarà Forza Tempo di impatto $x(k)$ $k$ $x$

Che è

$x(k)dk$

$dk$

e senti il suono @ $t$ $t-k$ $h(u)$ $u$ $t-k$ $k$ $h(t-k)$ $x(k)dk$ $x(k)h(t-k)dk$

Quindi l'effetto complessivo della musica che ascoltiamo sarà l'effetto integrato di tutti gli impatti. Anche quello dall'infinito negativo al più infinito. Che è ciò che è noto come convoluzione.

— Abhilash
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illustrazione interessante :)

— tomab

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Puoi anche pensare alla convoluzione come a sbavare / levigare un segnale da un altro. Se si dispone di un segnale con impulsi e un altro, per esempio, di un singolo impulso quadrato, il risultato saranno gli impulsi macchiati o levigati.

Un altro esempio sono due impulsi quadrati contorti che escono come un trapezio appiattito.

— Charan
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Se si scatta una foto con una fotocamera con l'obiettivo sfocato, il risultato è una convoluzione dell'immagine messa a fuoco con la funzione di diffusione del punto del defocus.

La distribuzione di probabilità della somma di una coppia di dadi è la convoluzione delle distribuzioni di probabilità dei singoli dadi.

La moltiplicazione lunga è convoluzione, se non si passa da una cifra alla successiva. E se capovolgi uno dei numeri. {2, 3, 7} contorto con {9, 4} è {8, 30, 55, 63}

      2   3   7
   X      4   9
---------------
     18  27  63 
  8  12  28
---------------
  8  30  55  63

(Potresti finire la moltiplicazione portando il "6" da 63 nel 55 e così via.)

— John Seymour
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Nei segnali e nei sistemi, la convoluzione viene solitamente utilizzata con il segnale di input e la risposta all'impulso per ottenere un segnale di output (terzo segnale). È più facile vedere la convoluzione come "somma ponderata degli input passati" perché anche i segnali passati influenzano l'uscita corrente.

Non sono sicuro che questa sia la risposta che stavi cercando, ma di recente ho realizzato un video perché mi dava molto fastidio. https://www.youtube.com/watch?v=1Y8wHa3fCKs&t=14s Ecco un breve video. Per favore, scusa il mio inglese lol.

— J.Lee
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Un altro modo di guardare alla convoluzione è considerare che hai due cose:

DATI - quantità certamente corrotte da un po 'di rumore - e in posizioni casuali (nel tempo, nello spazio, nominalo)
PATTERN = conoscenza dell'aspetto delle informazioni

la convoluzione di DATA con (il mirror simmetrico del) PATTERN è un'altra quantità che valuta -conoscendo il PATTERN- quanto è probabile che sia in ciascuna delle posizioni all'interno dei DATA.

Tecnicamente, in ogni posizione, questa quantità è la correlazione (questo è lo specchio del PATTERN) e quindi misura la probabilità di log in alcuni presupposti generali (rumore gaussiano indipendente). La convoluzione consente di calcolarlo in ogni posizione (nello spazio, nel tempo ...) in parallelo.

— meduz
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Una convoluzione è un integrale che esprime la quantità di sovrapposizione di una funzione (diciamo ) mentre si sposta su un'altra funzione (diciamo ) dove . $g$ $f$ $g*f$

— Shivani sharma
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Il significato fisico è che un segnale passa attraverso un sistema LTI! La convoluzione è definita come capovolgi (uno dei segnali), sposta, moltiplica e somma. Spiegherò la mia intuizione su ciascuno di essi.

1. Perché capovolgiamo uno dei segnali in convoluzione, cosa significa?

Perché l'ultimo punto nella rappresentazione del segnale di ingresso è in realtà il primo che entra nel sistema (notare l'asse del tempo). La convoluzione è definita per i sistemi invarianti con timer lineare. È tutto legato al Tempo e al modo in cui lo rappresentiamo in matematica. Ci sono due segnali in convoluzione, uno rappresenta il segnale di ingresso e uno rappresenta la risposta del sistema. Quindi la prima domanda qui è: qual è il segnale di risposta del sistema? La risposta del sistema è l'uscita del sistema in un dato tempo ta un ingresso con un solo elemento diverso da zero in un dato tempo t(segnale di impulso che viene spostato di t).

2. Perché i segnali vengono moltiplicati punto per punto?

Ancora una volta, facciamo riferimento alla definizione del segnale di risposta del sistema. Come detto, è il segnale che si forma spostando una funzione di impulso te disegnando l'uscita per ciascuno di questi t's. Possiamo anche immaginare il segnale di ingresso come somma delle funzioni d'impulso con ampiezze (scale) e fasi diverse. OK, quindi la risposta del sistema al segnale di ingresso in un dato momento è la risposta del segnale stessa moltiplicata per (o ridimensionata da) l'ampiezza dell'ingresso in quel determinato tempo.

3. Che cosa significa spostamento?

Detto questo (1 e 2), lo spostamento viene eseguito per ottenere l'uscita del sistema per qualsiasi punto del segnale di ingresso alla volta t.

Spero che ti aiuti gente!

— MimSaad
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$x_1$ $x_2$ $x_2$ $x_1$

Segue una "visione di sistema" più lunga: pensa a una visione ideale ( platonista ) di un punto. La testa di uno spillo, molto sottile, da qualche parte nello spazio vuoto. Puoi astrarlo come un Dirac (discreto o continuo).

Guardalo da lontano, o come una persona miope (come lo sono io), si confonde. Ora immagina che anche il punto ti stia guardando. Dal punto di vista "punto di vista", anche tu puoi essere una singolarità. Anche il punto può essere miope e il mezzo tra di voi (come singolarità e il punto) può essere non trasparente.

Quindi, la convoluzione è come un ponte sull'acqua agitata . Non avrei mai pensato di poter citare Simon e Garfunkel qui . Due fenomeni che cercano di impadronirsi. Il risultato è la sfocatura di uno sfocato dall'altro, simmetricamente. Le sfocature non devono essere le stesse. La sfocatura miope si combina uniformemente con la sfocatura dell'oggetto. La simmetria è tale che se la sfocatura dell'oggetto diventa un danno per gli occhi, e viceversa, la sfocatura complessiva rimane la stessa. Se uno di questi è l'ideale, l'altro non è toccato. Se riesci a vedere perfettamente, vedi l'esatta sfocatura dell'oggetto. Se l'oggetto è un punto perfetto, si ottiene la misura esatta della miopia.

$\log$

Puoi controllare Ma perché? Matematica intuitiva: convoluzione

— Laurent Duval
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Il modo in cui ascolti il suono in un determinato ambiente (stanza, spazio aperto ecc.) È una convoluzione del segnale audio con la risposta all'impulso di quell'ambiente.

In questo caso la risposta all'impulso rappresenta le caratteristiche dell'ambiente come riflessi audio, ritardo e velocità dell'audio che varia con la temperatura.

— VHampiholi
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Per riformulare le risposte:

Per l'elaborazione del segnale è la somma ponderata del passato nel presente. Tipicamente un termine è la cronologia della tensione in corrispondenza di un ingresso a un filtro e l'altro termine è un filtro o alcuni di questi che ha "memoria". Naturalmente nell'elaborazione video tutti i pixel adiacenti prendono il posto di "passato".

Per probabilità è una probabilità incrociata per un evento dati altri eventi; il numero di modi per ottenere un 7 in craps è la possibilità di ottenere un: 6 e 1, 3 e 4, 2 e 5. cioè la somma delle probabilità P (2) volte la probabilità P (7-2): P ( 7-2) P (2) + P (7-1) * P (1) + .....

— rrogers
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La convoluzione è un modo matematico di combinare due segnali per formare un terzo segnale. È una delle tecniche più importanti in DSP ... perché? Perché usando questa operazione matematica è possibile estrarre la risposta all'impulso del sistema. Se non si conosce il motivo per cui la risposta all'impulso del sistema è importante, leggere a riguardo in http://www.dspguide.com/ch6.htm . Usando la strategia di decomposizione degli impulsi, i sistemi sono descritti da un segnale chiamato risposta all'impulso. La convoluzione è importante perché mette in relazione i tre segnali di interesse: il segnale di ingresso, il segnale di uscita e la risposta all'impulso . È un'operazione matematica formale, proprio come la moltiplicazione, l'aggiunta e l'integrazione. L'aggiunta richiede due numeri e produce un terzo numero, mentre la convoluzione prende due segnali e produce un terzo segnale . Nei sistemi lineari, la convoluzione viene utilizzata per descrivere la relazione tra tre segnali di interesse: il segnale di ingresso, la risposta all'impulso e il segnale di uscita (da Steven W. Smith). Ancora una volta, questo è fortemente legato al concetto di risposta all'impulso che è necessario leggere al riguardo.

— S Fateri
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Impulse provoca una sequenza di output che cattura la dinamica del sistema (futuro). Capovolgendo questa risposta all'impulso, la usiamo per calcolare l'output dalla combinazione ponderata di tutti i valori di input precedenti. Questa è una dualità straordinaria.

— LARRY OBERDIER
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In parole povere significa trasferire input da un dominio a un altro dominio in cui è più facile lavorare. La convezione è legata alla trasformata di Laplace e talvolta è più facile lavorare nel dominio s, dove possiamo fare aggiunte di base alle frequenze. e anche poiché la trasformazione laplace è una funzione uno a uno, è molto probabile che non corrompiamo l'input. Prima di cercare di capire cosa significhi il teorema generale della convulazione in significato fisico, dovremmo invece iniziare dal dominio della frequenza. l'addizione e la moltiplicazione scalare seguono la stessa regola della trasformazione di Laplace come operatore lineare. c1.Lap (f (x) + c2.Lap g (x) = Lap (c1.f (x) + c2.g (x)). Ma cos'è Lap f (x) .Lap g (x). is ciò che definisce il teorema di convulazione.

— Debendra Gurung
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