Contorno e area, momenti dell'immagine grezza (spaziale) e centrale

Di recente ho iniziato a utilizzare i momenti dell'immagine per l'elaborazione delle immagini binarie. Ho letto che il momento del contorno dell'ordine di è il perimetro e il momento dell'area dell'ordine di è l' area . Questi momenti grezzi sono entrambi dati da:$0^{th}$$0^{th}$

$M_{ij} = \sum_{x}\sum_{y}x^iy^j$ .

Ciò significa che se ho un'immagine come questa (ma i pixel binari, in primo piano mostrati in blu), il momento corrisponderà al perimetro, poiché è un'immagine di un contorno :$0^{th}$

D'altra parte, se ho un'immagine come questa (primo piano mostrato come while), otterrò l' area dell'oggetto come il momento :$0^{th}$

Poiché desidero utilizzare i contorni per ottenere più proprietà, calcolo anche il momento di contorno grezzo di ordine superiore ( , , ) . Voglio usarli per ottenere i momenti centrali.$1^{st}$$2^{nd}$$3^{rd}$

Le formule che sto usando per ottenere i momenti centrali sono:

$\mu_{00} = M_{00}$

$\mu_{01} = 0$

$\mu_{10} = 0$

$\mu_{11} = \frac{M_{11}}{M_{00}} - x_c*y_c = \frac{M_{11}}{M_{00}} - (\frac{M_{10}}{M_{00}})*(\frac{M_{01}}{M_{00}})$

Le formule per il calcolo dei momenti centrali utilizzano momenti grezzi . La mia domanda è: quali momenti grezzi vengono utilizzati per calcolare momenti centrali, area o contorno ? . La mia ipotesi è i momenti dell'area , poiché il momento centrale dell'ordine è anche uguale all'area, che è in realtà il momento dell'area dell'ordine .$0^{th}$$0^{th}$

Inoltre, posso calcolare i momenti centrali in base ai momenti grezzi di contorno ?

In realtà, sono rimasto sorpreso da quanto sia stato difficile dedurre una definizione corretta di contorno rispetto a momenti "normali" e non di contorno di un'immagine. Dopo aver letto un mucchio di materiali, ecco le mie conclusioni.

In primo luogo, al fine di comprendere i momenti , e in particolare la differenza e l'uso di momenti spaziali (ciò che l'OP chiama "grezzo"), centrale e centrale , ho trovato due materiali molto buoni:

• (manuale) Johannes Kilian: "Analisi delle immagini semplice per momenti"

  Ottimo manuale con matematica semplice. Non avere paura degli integrali: puoi leggerli tutti come sommazioni.

  Inoltre, ha una piccola panoramica delle funzioni OpenCV utilizzate per operare in questi momenti. È un materiale molto vecchio (2001), quindi il manuale OpenCV a cui si riferisce è un po 'vecchio, ma aiuta ancora.

  E poi c'è il meraviglioso terzo capitolo, che specifica quale momento viene usato per descrivere quale caratteristica di un momento.

• (blog di elaborazione delle immagini) Utkarsh: Image Moments

  Semplice, breve e amichevole. Ho trovato un sacco di buon materiale su questo blog prima.

  ^{_{Disclaimer AI Shack sembrava essere offline a un certo punto. Ecco la homepage dell'autore di AI Shack , dove parla di questo progetto, quindi sembra ancora essere supportato. Spero che ritorni online presto, ma in caso contrario può essere rintracciato attraverso la pagina web dell'autore.}}

In breve, i momenti spaziali forniscono informazioni sull'oggetto nell'immagine , cioè in relazione (dipendente) dalla posizione dell'oggetto .

I momenti centrali vengono regolati per l'invarianza traslazionale , spostando l'origine del "sistema di coordinate" utilizzato per i calcoli sul centroide (centro di gravità) dell'oggetto in questione.

Infine, i momenti centrali normalizzati sono ridimensionati dall'area dell'oggetto e sono quindi invarianti di scala oltre all'invarianza traslazionale.

Ora per la parte vera domanda: che dire di momenti di contorno?

Le deduzioni da questa parte si basano principalmente su

• Manuale di riferimento OpenCV, v. 2.4.4.0 , Capitolo 3.5: Analisi strutturale e descrittori di forme
• pagina di Wikipedia per il teorema di Green - seguendo il link dal manuale OpenCV, il metodo utilizzato per il calcolo dei momenti di contorno (spiegherò in poche righe)

• Gary Bradski, Adrian Kaehler: "Imparare OpenCV: Computer Vision con la libreria OpenCV"

  (Il link è a google books, ma le pagine pertinenti sono accessibili. La sezione a cui ho collegato, più le successive 2-3 sezioni sono rilevanti. Sono circa 3 pagine in totale)

E le citazioni più importanti da quelle fonti:

I momenti di un contorno sono definiti nello stesso modo ma calcolati usando la formula del Green.

(Manuale di riferimento OpenCV)

Nella geometria del piano, e in particolare nel rilevamento dell'area, il teorema di Green può essere usato per determinare l'area e il centroide delle figure del piano solo integrandosi sul perimetro .

(wiki per Green)

Inoltre, cvContourMomentsora è solo un alias per cvMoments.

(Libro di Bradski Kaehler)

Sulla base di ciò, desidero dedurre che i momenti del contorno non si riferiscono a misure speciali dei contorni dell'oggetto, ma invece a un modo particolare per calcolare i momenti dell'immagine , usando solo le informazioni del contorno (anziché le informazioni sui pixel per l'intera immagine).

La differenza, nel caso fondamentale, sarebbe come vengono calcolati entrambi.

• La mia ipotesi sarebbe che l'implementazione diretta avrebbe funzionato per somma pixel per pixel, implementando direttamente la formula. L'oggetto dovrebbe essere riempito.
• La mia ipotesi per i momenti del contorno sarebbe che i contorni dell'immagine fossero prima determinati (consultare il manuale OpenCV) e quindi il teorema verde verrà applicato ai dati del contorno.

Ciò renderebbe le misure leggermente diverse per le immagini reali perché i metodi differirebbero in: sensibilità a: rumore, ridimensionamento, discretizzazione (griglia di pixel anziché immagine continua). Inoltre, la velocità : il calcolo usando i contorni è più veloce rispetto all'uso dell'approccio diretto. Vorrei ipotizzare che avrebbero dato risultati perfettamente uguali per un'immagine in bianco e nero (idealizzata) continua senza rumore.

Quindi, per rispondere alle tue domande: i momenti dovrebbero essere gli stessi (diversi a causa del rumore, ecc.). È possibile utilizzare i momenti spaziali (grezzi) calcolati da entrambi i metodi per determinare i momenti centrali (che descriveranno comunque la stessa cosa).

Ulteriore supporto di queste affermazioni è l'esistenza di questo articolo (ho letto solo l'abstract, ma dovrebbe essere molto rilevante, e anche l'abstract è informativo) dal 1994:

• Luren Yang, Fritz Albregtsen: "Calcolo rapido ed esatto dei momenti usando il teorema di Green discreto"

$0^{th}$

Tutte le ulteriori misurazioni ovviamente differirebbero se si usasse ulteriormente questo momento.

Indipendentemente dai momenti di contorno o area, i momenti centrali significano momenti che vengono calcolati in una cornice di riferimento centrata, cioè una cornice centrata sulla media del fenomeno.

$(\mu_{0,1},\mu_{1,0})$$\mathbf{\mu} = (\mu_{01},\mu_{10})$

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