Limiti della derivata di una funzione limitata di banda limitata

Permettere $f(t)$ essere una funzione con proprietà:

\begin{array}{ll} t \in R & t is in reals \\ f (t) \in R for all t & f (t) is in reals \\ | f (t) | < A for all t & absolute value of f (t) is bounded above by A \\ \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- i ω t} d t = 0 for all | ω | \geq B & f (t) is band-limited by frequency B in radians \end{array}

$\begin{array}{ll} t\in\mathbf{R}&t\text{ is in reals}\\ f(t)\in\mathbf{R}\text{ for all } t&f(t)\text{ is in reals}\\ |f(t)|<A\text{ for all }t&\text{absolute value of }f(t)\text{ is bounded above by }A\\ \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \ e^{- i \omega t} \ {\rm d}t = 0\text{ for all }|\omega|\ge B&f(t)\text{ is band-limited by frequency B in radians} \end{array}$

Dato $A$ e $B,$ a cosa serve il limite superiore stretto $|f'(t)|,$ il valore assoluto della derivata della funzione?

Non si deve assumere altro $f(t)$ rispetto a quanto sopra indicato. Il limite dovrebbe accogliere questa incertezza.

Per una sinusoide di ampiezza $A$ e frequenza $B,$ il valore assoluto massimo della derivata è $AB.$ Mi chiedo se questo è un limite superiore, e in quel caso anche il limite superiore stretto. O forse una funzione non sinusoidale ha una pendenza più ripida.

bandwidth derivative

— Olli Niemitalo
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Hai controllato questo ?

— Tendero,

@Tendero grazie. Lì, l'energia del segnale è nota, piuttosto che il valore assoluto di picco come nella mia domanda.

— Olli Niemitalo,

Vedi la mia risposta per il limite che cerchi. Dice più in generale, un risultato dovuto a Bernstein dice che se la frequenza massima in un generico

x (t)

$x(t)$ limitato dentro

[- 1, 1]

$[-1,1]$ è

f_{0}

$f_0$ , questo è,

X (f) = 0

$X(f) = 0$ per

| f | > f_{0}

$|f| > f_0$ , poi

max | \frac{d x}{d t} | \leq 2 π f_{0} .

$\max \left| \frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\right| \leq 2\pi f_0.$

— Dilip Sarwate,

Basato sulla versione netta della disuguaglianza di Bernstein, dalle risposte collegate di Dilip, dalla risposta modificata di MBaz e dalla letteratura citata, è davvero il limite superiore acuto (l'ho chiamato stretto significato lo stesso) per il massimo valore assoluto della derivata, un scala sinusoidale esattamente al limite della banda (non strettamente consentito dai vincoli che do), facendo della disuguaglianza un'uguaglianza.

A B

$AB$

— Olli Niemitalo,

Risposte:

Sarai interessato alla disuguaglianza di Bernstein, di cui ho appreso per la prima volta in Lapidoth, A Foundation in Digital Communication (pagina 92).

Con un segnale ben educato come definito in precedenza (in particolare, è integrabile e limitato a e ), quindi $f(t)$ $f(t)$ $B\,\text{Hz}$ $\text{sup}\,|f(t)| = A$

| \frac{d f (t)}{d t} | \leq 2 A B π .

$\left|\frac{\text{d}f(t)}{\text{d}t}\right| \leq 2AB\pi.$

Si noti che il risultato originale di Bernstein stabilì un limite di ; più tardi, quel limite fu stretto a . $4AB\pi$ $2AB\pi$

Ho trascorso un po 'di tempo a leggere la "Serie trigonometrica" di Zygmund; tutto ciò che dirò è che è il rimedio perfetto per coloro che hanno l'impressione di conoscere la trigonometria. Una piena comprensione della dimostrazione va oltre la mia abilità matematica, ma penso di poter evidenziare i punti principali.

Innanzitutto, ciò che Zygmund chiama la disuguaglianza di Bernstein è un risultato più limitato. Dato il polinomio trigonometrico (con reale ), quindicon disuguaglianza rigorosa a meno che non sia un monomiale .

T (x) = \sum_{- \infty}^{\infty} c_{k} e^{j k x}

$T(x) = \sum_{-\infty}^\infty c_k e^{jkx}$

x

$x$

max_{x} | T^{'} (x) | \leq n max_{x} | T (x) |

$\max_x |T'(x)| \leq n \max_x |T(x)|$

T

$T$

A \cos (n x + α)

$A \cos(nx+\alpha)$

Per generalizzare questo abbiamo bisogno di un risultato preliminare. Considera una funzione che si trova in e in . ( è la classe di funzioni integrali di tipo al massimo - questo è uno dei luoghi in cui la mia matematica inizia a sfilacciarsi ai margini. La mia comprensione è che questo è un modo matematicamente rigoroso di affermando che ha larghezza di banda .) $F$ $\text{E}^\pi$ $\text{L}^2$ $\text{E}^\sigma$ $\sigma$ $f=\text{IFT}\lbrace F \rbrace$ $\sigma$

Per tale abbiamo la formula di interpolazione dove è complessa e(Questo è il teorema 7.19.) $F$

F (z) = \frac{\sin (π z)}{π} F_{1} (z),

$F(z) = \frac{\sin(\pi z)}{\pi}F_1(z),$

z

$z$

F_{1} (z) = F^{'} (0) + \frac{F (0)}{π} + \sum_{n = - \infty}^{\infty}^{'} (- 1)^{n} F (n) (\frac{1}{z - n} + \frac{1}{n}) .

$F_1(z) = F'(0) + \frac{F(0)}{\pi} + \sum_{n=-\infty}^\infty {^\prime} (-1)^nF(n) \left( \frac{1}{z-n}+\frac{1}{n} \right).$

Ora possiamo affermare il teorema principale. Se:

$F$ è in con $\text{E}^\sigma$ $\sigma>0$
$F$ è limitato sull'asse reale
$M=\sup |F(x)|$ per reale $x$

quindi con uguaglianza possibile sef per arbitrario . Supponiamo che (altrimenti prendiamo invece di .)

| F^{'} (x) | \leq σ M

$|F'(x)| \leq \sigma M$

F (z) = a e^{j σ z} + b e - j σ x

$F(z) = a e^{j\sigma z} + b e{-j\sigma x}$

a, b

$a,b$

σ = π

$\sigma=\pi$

F (z π / σ)

$F(z\pi/\sigma)$

F (z)

$F(z)$

Per dimostrarlo, scriviamo la derivata di usando la formula di interpolazione sopra:Impostando otteniamo che implica $F$

F^{'} (x) = F_{1} (x) \cos (π x) + \frac{\sin (π x)}{π} \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} F (n)}{(x - n)^{2}} .

$F'(x) = F_1(x)\cos(\pi x)+\frac{\sin(\pi x)}{\pi} \sum_{n=-\infty}^\infty \frac{(-1)^nF(n)}{(x-n)^2}.$

x = 1 / 2

$x=1/2$

F^{'} (1 / 2) = \frac{4}{π} \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} F (n)}{(2 n - 1)^{2}}

$F'(1/2) = \frac{4}{\pi} \sum_{n=-\infty}^\infty \frac{(-1)^nF(n)}{(2n-1)^2}$

| F^{'} (1 / 2) | \leq \frac{4}{π} \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{1}{(2 n - 1)^{2}} = \frac{4 M π^{2}}{4 π} = M π .

$|F'(1/2)| \leq \frac{4}{\pi} \sum_{n=-\infty}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2} = \frac{4M\pi^2}{4\pi} = M\pi.$

Ora abbiamo bisogno di un piccolo trucco: prendi un arbitrario e definisci . Quindi, $x_0$ $G(z) = F(x_0+z-1/2)$

| F^{'} (x_{0}) | = | G^{'} (1 / 2) | \leq M π .

$|F'(x_0)| = |G'(1/2)| \leq M\pi.$

(TODO: mostra la prova del caso di uguaglianza. Definisci .) $\sum \prime$

— MBaz
fonte

@OlliNiemitalo Come sottolineato nella risposta di Mattl, la sinusoide ha la massima derivato . Questo soddisfa il limite di Bernstein, come affermato nella mia risposta qui su dsp.SE (citata in un commento sulla tua domanda) e nella mia risposta su math.SE che hai trovato, con uguaglianza.

\sin (2 π B t)

$\sin(2\pi Bt)$

2 π B

$2\pi B$

— Dilip Sarwate,

@OlliNiemitalo Ho trovato la prova data dal Pinksy qui (spero che le opere di collegamento!). Usa sicuramente come limite, non .

4 A B π

$4AB\pi$

2 A B π

$2AB\pi$

— MBaz,

@MBaz Il tuo link funziona davvero! Alla fine della sezione 2.3.8 affermano che la versione più nota della disuguaglianza di Bernstein ha il fattore 2 anziché 4, che è acuto, e che per i dettagli consultare Zygmund (1959) Vol. 2, p. 276. Penso che sia Zygmund, serie A. Trigonometric. 2a ed. Vol. II. Cambridge University Press, New York 1959.

— Olli Niemitalo,

RP Boas, Alcuni teoremi su Fourier trasformano e coniugano integrali trigonometrici , Transactions of the American Mathematical Society 40 (2), 287-308, 1936 cita gli articoli pertinenti di Bernstein, Szegö e Zygmund, già con il limite netto, per quanto Io posso dire.

— Olli Niemitalo,

@OlliNiemitalo Excellent! Avevo perso quella nota alla fine della sezione 2.3.8. Aggiornerò la mia risposta. Inoltre: quel libro di Zygmund è nella biblioteca della mia università, ma non è online. Lo tirerò fuori domani e vedrò cosa dice.

— MBaz,

In generale otterresti qualcosa del genere, ma potrebbe non essere stretto:

\begin{aligned} | f^{'} (t) | & = | \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} j ω F (j ω) e^{- j ω t} d ω | \\ \leq \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} | ω | | F (j ω) | d ω \\ = \frac{1}{2 π} \int_{- ω_{c}}^{ω_{c}} | ω | | F (j ω) | d ω \\ \leq \frac{| ω_{c} |}{2 π} \int_{- ω_{c}}^{ω_{c}} | F (j ω) | d ω \\ (1) & = \frac{ω_{c}}{π} \int_{0}^{ω_{c}} | F (j ω) | d ω \end{aligned}

$\begin{align}|f'(t)|&=\left|\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}j\omega F(j\omega)e^{-j\omega t}d\omega\right|\\&\le \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|\omega||F(j\omega)|d\omega\\&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\omega_c}^{\omega_c}|\omega||F(j\omega)|d\omega\\&\le \frac{|\omega_c|}{2\pi}\int_{-\omega_c}^{\omega_c}|F(j\omega)|d\omega\\&=\frac{\omega_c}{\pi}\int_{0}^{\omega_c}|F(j\omega)|d\omega\tag{1}\end{align}$

Il limite superiore suè ovviamente implicito in. $|f(t)|$ $|F(j\omega)|$

Per una sinusoide , fornisce come limite superiore, come previsto. $A\sin(\omega_ct)$ $(1)$ $A\omega_c$

— Matt L.
fonte

@Olli Niemitalo, avevo derivato il caso sinusoide, penso che questo sia il caso generale che stavamo esaminando. Grazie Matt L.

— MimSaad,