Cosa si intende per "risposta all'impulso" e "risposta in frequenza" di un sistema?

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Qualcuno può affermare la differenza tra la risposta in frequenza e la risposta all'impulso in un inglese semplice?

— Ant di
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La risposta all'impulso e la risposta in frequenza sono due attributi utili per caratterizzare i sistemi lineari invarianti di tempo (LTI) . Forniscono due modi diversi di calcolare quale sarà l'uscita di un sistema LTI per un dato segnale di ingresso. Un sistema LTI a tempo continuo è di solito illustrato in questo modo:

Diagramma di sistema LTI

In generale, il sistema mappa il suo segnale di ingresso su un corrispondente segnale di uscita . Esistono molti tipi di sistemi LTI che possono applicare trasformazioni molto diverse ai segnali che li attraversano. Ma condividono tutti due caratteristiche chiave: $H$ $x(t)$ $y(t)$

Il sistema è lineare , quindi obbedisce al principio di sovrapposizione . Detto semplicemente, se si combinano linearmente due segnali e li si immette nel sistema, l'uscita è la stessa combinazione lineare di ciò che le uscite sarebbero state se i segnali fossero passati individualmente. Cioè, se mappe ad un'uscita del e mappe ad un'uscita del , quindi per tutti i valori di e , $x_1(t)$ $y_1(t)$ $x_2(t)$ $y_2(t)$ $a_1$ $a_2$

H {a_{1} x_{1} (t) + a_{2} x_{2} (t)} = a_{1} y_{1} (t) + a_{2} y_{2} (t)

$H\{a_1 x_1(t) + a_2 x_2(t)\} = a_1 y_1(t) + a_2 y_2(t)$

Il sistema è invariante nel tempo , quindi le sue caratteristiche non cambiano con il tempo. Se aggiungi un ritardo al segnale di ingresso, aggiungi semplicemente lo stesso ritardo all'uscita. Per un segnale di input che mappa a un segnale di output , quindi per tutti i valori di , $x(t)$ $y(t)$ $\tau$

H {x (t - τ)} = y (t - τ)

$H\{x(t - \tau)\} = y(t - \tau)$

I sistemi LTI a tempo discreto hanno le stesse proprietà; la notazione è diversa a causa della differenza discreta contro continua, ma sono molto simili. Queste caratteristiche consentono di caratterizzare direttamente il funzionamento del sistema usando le sue risposte all'impulso e alla frequenza. Forniscono due prospettive sul sistema che possono essere utilizzate in contesti diversi.

Risposta impulsiva:

$\delta(t)$ $\delta[n]$ $h(t)$ $h[n]$

Perché è utile? Ci consente di prevedere come sarà l'output del sistema nel dominio del tempo. Ricordi le proprietà di linearità e invarianza nel tempo sopra menzionate? Se riusciamo a scomporre il segnale di ingresso del sistema in una somma di un gruppo di componenti, l'output è uguale alla somma delle uscite del sistema per ciascuno di quei componenti. E se potessimo scomporre il nostro segnale di input in una somma di impulsi scalati e spostati nel tempo? Quindi, l'output sarebbe uguale alla somma delle copie della risposta all'impulso, ridimensionata e spostata nel tempo allo stesso modo.

$x[n]$

x [n] = \sum_{k = 0}^{\infty} x [k] δ [n - k]

$x[n] = \sum_{k=0}^{\infty} x[k] \delta[n - k]$

$x[n]$ $x[n]$ $y[n]$

y [n] = \sum_{k = 0}^{\infty} x [k] h [n - k]

$y[n] = \sum_{k=0}^{\infty} x[k] h[n-k]$

$h[n]$ $x[n]$ $y[n]$

Per i sistemi a tempo continuo, la suddetta scomposizione semplice non è possibile in un senso matematico rigoroso (il delta di Dirac ha larghezza zero e altezza infinita), ma a livello di ingegneria, è un modo approssimativo e intuitivo di guardare al problema. Un simile teorema di convoluzione vale per questi sistemi:

y (t) = \int_{- \infty}^{\infty} x (τ) h (t - τ) d τ

$y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t - \tau) d\tau$

$h(t)$ $L^2$ $L^2$

In breve: per entrambi i sistemi a tempo discreto e continuo, la risposta all'impulso è utile perché ci consente di calcolare l'uscita di questi sistemi per qualsiasi segnale di ingresso; l'uscita è semplicemente il segnale di ingresso coinvolto nella funzione di risposta all'impulso.

Risposta in frequenza:

La risposta in frequenza di un sistema LTI fornisce una funzione simile: consente di calcolare l'effetto che un sistema avrà su un segnale di ingresso, tranne per il fatto che tali effetti sono illustrati nel dominio della frequenza . Richiama la definizione della trasformata di Fourier :

X (f) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j 2 π f t} d t

$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j 2 \pi ft} dt$

Ancora più importante per il bene di questa illustrazione, guarda il suo inverso:

x (t) = \int_{- \infty}^{\infty} X (f) e^{j 2 π f t} d f

$x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) e^{j 2 \pi ft} df$

$x(t)$ $x(t)$ $X(f)$ $f$ $f$ nella summenzionata combinazione lineare. Questi fattori di ridimensionamento sono, in generale, numeri complessi. Un modo di vedere numeri complessi è in formato ampiezza / fase, ovvero:

X (f) = A (f) e^{j ϕ (f)}

$X(f) = A(f) e^{j \phi(f)}$

$x(t)$ $A(f)$ $\phi(f)$ $x(t)$

Ecco dove migliora: le funzioni esponenziali sono le autofunzioni dei sistemi lineari invarianti di tempo. L'idea è simile agli autovettori nell'algebra lineare, se si inserisce una funzione esponenziale in un sistema LTI, si ottiene la stessa funzione esponenziale, ridimensionata da un valore (generalmente complesso). Questo ha l'effetto di cambiare l'ampiezza e la fase della funzione esponenziale che hai inserito.

$x(t)$ $x(t)$ $X(f)$ $H$ $Y(f)$

Y (f) = H (f) X (f) = A (f) e^{j ϕ (f)} X (f)

$Y(f) = H(f) X(f) = A(f) e^{j \phi(f)} X(f)$

$H(f)$ $X(f)$ $X(f)$ $A(f)$ $\phi(f)$

Riunendoli:

La risposta all'impulso di un sistema LTI e la risposta in frequenza sono intimamente correlate. La risposta in frequenza è semplicemente la trasformata di Fourier della risposta all'impulso del sistema (per capire perché questa relazione è valida, vedere le risposte a quest'altra domanda ). Quindi, per un sistema a tempo continuo:

H (f) = \int_{- \infty}^{\infty} h (t) e^{- j 2 π f t} d t

$H(f) = \int_{-\infty}^{\infty} h(t) e^{-j 2 \pi ft} dt$

Quindi, data la risposta all'impulso di un sistema o la sua risposta in frequenza, puoi calcolare l'altro. Uno dei due è sufficiente per caratterizzare pienamente il comportamento del sistema; la risposta all'impulso è utile quando si opera nel dominio del tempo e la risposta in frequenza è utile quando si analizza il comportamento nel dominio della frequenza.

— Jason R
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un modo per votare 1000 volte? La risposta migliore .. Ma scusa come restrizione SO, posso dare solo +1 e accettare la risposta! :) molte grazie. . .

— Formica,

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SORPRENDENTE! Molto meglio di qualsiasi libro di testo che riesco a trovare!

— Jase,

1

bella risposta! :)

— Jarryd,

+1 e i miei più sentiti ringraziamenti per avermi chiarito. :)

— codedude

1

@heltonbiker No, la risposta al passaggio è ridondante. La risposta all'impulso o la risposta in frequenza è sufficiente per caratterizzare completamente un sistema LTI. Nel caso del tempo discreto, nota che puoi scrivere una funzione di passo come una somma infinita di impulsi. A causa della proprietà di linearità del sistema, la risposta al gradino è solo una somma infinita di risposte all'impulso correttamente ritardate.

— Jason R,

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Batti una volta bruscamente qualcosa e traccia come reagisce nel dominio del tempo (come con un oscilloscopio o un plotter a penna). Questo sarà vicino alla risposta all'impulso.

Ottieni un generatore di suoni e fai vibrare qualcosa con frequenze diverse. Alcune frequenze risonanti amplificherà. Altri potrebbero non rispondere affatto. Traccia le dimensioni e la fase della risposta rispetto alla frequenza di ingresso. Questo sarà vicino alla risposta in frequenza.

Per alcune classi comuni di sistemi (in cui il sistema non cambia molto nel tempo e qualsiasi non linearità è abbastanza piccola da ignorare per lo scopo in questione), le due risposte sono correlate e potrebbe essere applicabile una trasformata di Laplace o di Fourier per approssimare la relazione.

— hotpaw2
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La risposta all'impulso è la risposta di un sistema a un singolo impulso di durata infinitamente piccola ed energia unitaria (un impulso di Dirac). La risposta in frequenza mostra quanto ogni frequenza è attenuata o amplificata dal sistema.

La risposta in frequenza di un sistema è la risposta all'impulso trasformata nel dominio della frequenza. Se si dispone di una risposta all'impulso, è possibile utilizzare la FFT per trovare la risposta in frequenza e utilizzare la FFT inversa per passare da una risposta in frequenza a una risposta a impulso.

— Han
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Va forse notato che questo vale solo per i sistemi lineari e invarianti nel tempo

— Paolo R

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A breve, abbiamo due tipi di risposte di base: risposte temporali e risposte in frequenza . Le risposte temporali testano il funzionamento del sistema con disturbi momentanei mentre la risposta in frequenza lo verifica con disturbi continui. Le risposte temporali contengono elementi come la risposta al gradino, la risposta alla rampa e la risposta all'impulso . Le risposte in frequenza contengono risposte sinusoidali .

L'università Aalto ha alcuni corsi Mat-2.4129 liberamente disponibili qui , molto rilevanti probabilmente i file Matlab perché la maggior parte delle cose in finlandese. Se sei più interessato, puoi controllare i video qui sotto per i video introduttivi. Li ho trovati utili anche io.

Ho solo una conoscenza molto elementare dei problemi LTI, quindi li tratterò di seguito - ma ci sono sicuramente molti più diversi tipi di problemi!

Risposte con problemi lineari invarianti di tempo

Con problemi LTI (invarianti di tempo lineari), l'ingresso e l'uscita devono avere la stessa forma: l'ingresso sinusoidale ha un'uscita sinusoidale e allo stesso modo il risultato dell'ingresso passo nell'uscita passo. Se non si dispone del sistema LTI, supponiamo di avere un feedback o il controllo / rumore e gli input correlati, quindi tutte le affermazioni di cui sopra potrebbero essere errate. Con LTI, otterrai due tipi di cambiamenti: sfasamento e cambiamenti di ampiezza ma la frequenza rimane invariata. Se si infrangono alcune ipotesi, diciamo con l'assunzione di non correlazione, l'input e l'output possono avere forme molto diverse.

Se è necessario verificare se un sistema è LTI o meno, è possibile utilizzare strumenti come l'equazione di Wiener-Hopf e l'analisi di correlazione. L'equazione di Wiener-Hopf viene utilizzata con sistemi rumorosi. È essenziale convalidare i risultati e verificare i locali, altrimenti è facile commettere errori con risposte diverse. Maggiori informazioni su come determinare la risposta all'impulso con il sistema rumoroso qui .

Riferimenti

Articolo di Wikipedia su LTI qui

Ottimi video introduttivi su diverse risposte qui e qui - alcuni punti chiave di seguito.

— HHH
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(domanda non correlata): come hai creato l'istantanea del video?

— alexey,

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@alexey cerca app "collage" in alcune app store o browser.

— hhh