Scelte di convenzione e notazione per la trasformata di Fourier?

Le definizioni della trasformata di Fourier e della trasformata inversa di Fourier che ho imparato al college erano

F (j ω) = \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- j ω t} d t

$F(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t}\ dt$

f (t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} F (j ω) e^{j ω t} d ω

$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(j\omega)e^{j\omega t} d\omega$

Le caratteristiche salienti di questa convenzione sono

Trasformazione non unitaria; le unità del dominio della frequenza sono radianti (la variabile è ) $\omega$
Le unità "dominio nel tempo" sono in tempo (la variabile è ) $t$
Le trasformazioni di funzione sono indicate da lettere maiuscole ( vs. ) $F$ $f$
La in indica rigorosamente che la funzione è una trasformata di Fourier $j$ $F(j\omega)$
E, naturalmente, la solita convenzione EE che . $j=\sqrt{-1}$

Oggi uso una convenzione molto diversa, essenzialmente quella usata sulle wikipedias :

Le caratteristiche di questa convenzione siamo

\hat{f} (ξ) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) e^{- j 2 π ξ x} d x

$\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-j2\pi\xi x}dx$

f (x) = \int_{- \infty}^{\infty} \hat{f} (ξ) e^{j 2 π ξ x} d ξ

$f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi) e^{j2\pi\xi x} d\xi$

Trasformazione unitaria; le unità del dominio della frequenza sono frequenze normalizzate (la variabile è ) $\xi$
Le unità "dominio del tempo" sono senza unità (la variabile è ) $x$
$\hat{f}$ $f$
$\xi$ $x$

Preferisco di gran lunga questa convenzione per diversi motivi.

L'uso di una convenzione unitaria aumenta notevolmente la simmetria e la chiarezza dei doppi di Fourier: confronta
- $\mathrm{rect}(x)\leftrightarrow\mathrm{sinc}(\xi)$
- $\mathrm{sinc}(x)\leftrightarrow\mathrm{rect}(\xi)$
- $\mathrm{rect}(t)\leftrightarrow\mathrm{sinc}(\frac{\omega}{2\pi})$
- $\mathrm{sinc}(t)\leftrightarrow\mathrm{rect}(\frac{\omega}{2\pi})$
$x$ $t$ $t$
Trovo che le lettere maiuscole siano più utili per indicare variabili / funzioni a valore discreto che per rappresentare funzioni trasformate.
$f$ $\xi$ $\mathcal{F}\{f\}$ $\mathcal{F}{f(t)}$ $\mathcal{F}\{f\}(t)$ $\mathcal{F}\{f\}(\omega)$
$\pi$

Certo, sarebbe abbastanza vano da parte mia considerare la mia scelta della convenzione superiore a quella usata da altri. Ma faccio fatica a trovare buone ragioni per preferire la convenzione che ho imparato in origine al college (vale a dire ragioni che non coinvolgono la tradizione).

$F(j\omega)$

Qualcuno può pensare ad altri motivi per preferire la convenzione "tradizionale" (non unitaria)? Questa convenzione "tradizionale" è la stessa di quella che hai imparato in un corso di elaborazione del segnale (se ne hai preso uno)? Quale convenzione non si preferisce?

fourier-transform frequency

— rtollert
fonte

Le domande che sollecitano opinioni personali non sono realmente costruttive per questo sito. La risposta è che in realtà non importa quale sia la tua convenzione, a patto che tu la definisca correttamente, usandola coerentemente e in molti casi, si attenga alla notazione comune usata nel tuo campo. L'importante è non inventare nuove folli notazioni per essere intenzionalmente ottuso. Non sono sicuro di come le preferenze e le opinioni personali siano utili in tutto questo ...

— Lorem Ipsum,

Posso capire il desiderio di evitare la semplice opinione, ma penso che ci sia una domanda legittima sul perché le convenzioni tradizionali siano ciò che sono: è improbabile che siano definite solo come incidenti storici. Sarei disposto a riscrivere questa domanda per evitare di sollecitare opinioni e concentrarsi sulla questione di come queste decisioni di convenzione / notazione nella letteratura sull'elaborazione del segnale siano nate in primo luogo.

— rtollert,

Hai dimenticato di sostituire tutto il 2π con τ . : D

— endolith

@endolith Mi hai battuto :)

— datageist

x (t)

$x(t)$

X (f)

$X(f)$

X (ω)

$X(\omega)$

La scelta della convenzione dovrebbe essere quella più appropriata (o familiare) per il pubblico con cui stai cercando di comunicare.

— hotpaw2
fonte

Una cosa sull'uso di x (t) per un segnale è il parallelo tra

$y = x^2$

$y(t) = x(t)^2$

dove x è ancora un input e y è ancora un output, solo in questo caso sono segnali anziché numeri.

— endolith
fonte