"La trasformata di Fourier non può misurare due fasi alla stessa frequenza". Perché no?

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Ho letto che la trasformata di Fourier non può distinguere componenti con la stessa frequenza ma con fasi diverse. Ad esempio, in Mathoverflow , o xrayphysics , dove ho ottenuto il titolo della mia domanda da: "La trasformata di Fourier non può misurare due fasi alla stessa frequenza".

Perché questo è matematicamente vero?

fourier-transform fourier

— La matematica sbalordita
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Si può si distinguono i componenti di, diciamo

\sin (x) + \sin (x + c)

$\sin(x) + \sin(x+c)$ ? Scommetto che non puoi.

— Ilmari Karonen,

FT trova componenti che possono essere sommati per ricostruire un determinato segnale. Ma ciò non significa che quei componenti fossero in qualche modo effettivamente presenti nell'originale. Esistono infiniti modi in cui un determinato segnale avrebbe potuto essere "costruito", ma il segnale avrà un solo FT univoco.

— Solomon Slow

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È perché la presenza simultanea di due segnali sinusoidali con la stessa frequenza e fasi diverse è effettivamente equivalente a un singolo sinusoidale alla stessa frequenza, ma con una nuova fase e ampiezza come segue:

Lascia che i due componenti sinusodiali siano riassunti in questo modo:

x (t) = a \cos (ω_{0} t + ϕ) + b \cos (ω_{0} t + θ)

$x(t) = a \cos(\omega_0 t + \phi) + b \cos(\omega_0 t + \theta)$

Quindi dalle manipolazioni trigionometriche si può dimostrare che:

x (t) = A \cos (ω_{0} t + Φ)

$x(t) = A \cos(\omega_0 t + \Phi)$

dove

A = \sqrt{a^{2} + b^{2} + 2 a b \cos (θ - ϕ)}

$A = \sqrt{ a^2 + b^2 + 2 a b \cos(\theta-\phi) }$ e

Φ = \tan^{- 1} (\frac{a \sin (ϕ) + b \sin (θ)}{a \cos (ϕ) + b \cos (θ)})

$\Phi = \tan^{-1}(\frac{ a \sin(\phi) + b\sin(\theta) } { a \cos(\phi) + b\cos(\theta) } )$

quindi hai effettivamente una singola sinusoidale (con una nuova fase e ampiezza), e quindi nulla da distinguere davvero ...

— fat32
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Il mio cervello deve essere spento perché seguo le cose del trigantino ma c'è ancora confusione che turbina intorno. L'OP non ha avuto il giorno in cui venivano aggiunti, quindi cosa giustifica il passaggio iniziale in cui li aggiungi? In altre parole, se li consideriamo semplicemente come due segnali in cui uno inizia "più tardi" dell'altro ma non vengono aggiunti, possiamo distinguerli? È necessario aggiungerli perché non è possibile avere due punti dati a una frequenza? Grazie.

— segna leeds il

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@markleeds, L'OP non ha detto che si riferiva alla trasformazione di Fourier con finestre, e i collegamenti forniti indicano chiaramente la normale versione senza finestre. Nella versione normale dell'analisi di Fourier, si presume che i segnali siano composti come una somma ponderata di sinusoidali con fasi diverse. L'analisi consiste nell'ottenere questi pesi e fasi. La loro raccolta è lo spettro. Se concatenate 2 sinusoidi, anche questa analisi globale di Fourier non può distinguere la loro fase. Tuttavia, la trasformata di Fourier con finestre è progettata per un tale lavoro ... non che lo faccia davvero bene.

— Stefan Karlsson,

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Come suggerito dal mio commento, potrebbe essere informativo aggiungere una menzione della trasformata di Fourier con finestre. Se @ Fat32 ha il tempo, potrebbe menzionare la discontinuità implicata nel concatenare 2 sinusoidi di diversa frequenza, e perché otteniamo una gamma di frequenze apparentemente casuali aggiunte alla trasformata globale di Fourier se proviamo ad analizzarlo.

— Stefan Karlsson,

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Salve @markleeds, come già indicato da StefanKarlsson, la domanda riguardava il caso di sovrapposizione (presenza additiva simultanea) di quei due sinusoidali della stessa frequenza. Nota molto attentamente che fase è un termine relativo e non assoluto; cioè, è misurato rispetto a un'origine comune (tempo) scelta, che è

sopra. La concatenazione (come in Phase Shift Keying) consente una discriminazione finestra ma si dovrebbe comunque fare riferimento a un'origine temporale comune per dire comunque le differenze di fase. Ecco perché i ricevitori PSK richiedono una stretta sincronizzazione del tempo di impulso ;-)

t = 0

$t=0$

— Fat32

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@smsc ha voglia di ripetermi, ma se l'output di quei due cavi viene aggiunto e quindi analizzato tramite FT, vedrai un'unica onda sinusoidale con una fase composita e ampiezza ... Ma se non li aggiungi e analizzi separatamente, allora sarai in grado di dire le loro fasi relative ... E questo non è correlato a DFT.

— Fat32

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Se leggi oltre, fino a "La versione semplificata della trasformata di Fourier di cui abbiamo discusso in precedenza non può tenere conto degli spostamenti di fase - in che modo la trasformata di Fourier effettivamente lo fa?" noterai un'esplosione leggermente migliore, usano seni e coseni.

" Matematica degli sfasamenti (opzionale) .

Per vedere come uno sfasamento può essere suddiviso in seno e coseno non spostati, abbiamo bisogno di un'identità trigonometrica: sin (a + b) = sin (a) * cos (b) + cos (a) * sin ( b).

A * sin (2 * π * f * t + φ) = A * cos (φ) * sin (2 * π * f * t) + A * sin (φ) * cos (2 * π * f * t)

Come puoi vedere, lo sfasamento sposta parte dell'ampiezza (energia) del segnale sinusoidale in un segnale coseno, ma la frequenza non cambia. Se si utilizza la rappresentazione numerica complessa della trasformata di Fourier, lo sfasamento rappresenta semplicemente una rotazione del valore nel piano complesso, con la grandezza invariata. Il fatto che gli spostamenti di fase spostino solo l'ampiezza dal seno al coseno significa che l'aggiunta di due segnali con la stessa frequenza e fase diversa fornisce un segnale con uno spostamento di fase (medio) complessivo a quella frequenza - e nessuna memoria dei componenti. ".

In pratica è più complicato, vedi " Tecniche di Fourier parziali ", " Simmetria coniugata fase " e " FOV e k-spazio ". Nella " Introduzione alla codifica di fase - I " spiegano:

"... quando due onde sinusoidali (A e B) con la stessa frequenza ma fasi diverse vengono sommate, il risultato è un'altra onda sinusoidale con la stessa frequenza ma una fase diversa. Quando le onde sinusoidali sono vicine tra loro in fase costruttivamente interferiscono e quando sfasati interferiscono in modo distruttivo.

... Guardando solo la loro somma, vedi semplicemente un'onda sinusoidale di una certa frequenza e fase. Da questa singola osservazione è impossibile individuare i singoli contributi delle onde A e B.

Tuttavia, facendo due osservazioni con A e B spostate di fasi diverse, è possibile determinare i loro contributi individuali osservando solo le loro somme. Questo è illustrato di seguito in un'immagine MR, in cui A e B sono due pixel nella stessa colonna verticale che risuonano alla stessa frequenza codificata (ω). In particolare, al passaggio 0 (linea di base, quando non è stato applicato alcun gradiente di codifica di fase) è possibile scrivere insieme il segnale totale da A&B: Quindi (t) = A sin ωt + B sin ωt = (A + B) sin ωt.

...

Da questa singola misurazione nel passaggio 1, non conosciamo ancora le singole ampiezze A e B, ma solo la loro differenza (A − B). Usando insieme le informazioni del passaggio 0 e del passaggio 1, siamo in grado di estrarre i contributi di segnale unici mediante una semplice algebra:

½ [So + S1] = ½ [(A + B) + (A − B)] = A e ½ [So - S1] = ½ [(A + B) - (A − B)] = B

".

Altrimenti sarebbe simile a questo (immagine A):

PFI che mostra artefatti da vari algoritmi: (A) algoritmo di base, (B) algoritmo BAX, (C) algoritmo di riempimento zero, (D) algoritmo di base che utilizza i dati che avevano una correzione SDPS costante costante precedente, illustrando artefatti da SDPS di ordine superiore.

— rapinare
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$c\cos(\omega t+\phi)$ $Re(ce^{(\omega t+\phi)i})$ $Re$ $c_1\cos(\omega t+\phi_1)+c_2\cos(\omega t+\phi_2)=Re(c_1e^{(\omega t+\phi_1)i}+c_2e^{(\omega t+\phi_2)i})$ $ae^{\omega t i}$ $Re(e^{\omega t i}(c_1e^{\phi_1i}+c_2e^{\phi_2i}))$ $c e^{\phi i}$ $c$ $\phi$

Quindi, mentre entrambi i segnali influenzano la grandezza dell'uscita, un segnale aggiuntivo non influenzerà la posizione nello spazio delle fasi.

— Acccumulation
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Vorrei seguire il percorso di una versione geometrica della domanda, usando somme di cerchi.

Seni e coseni sono "solo" le parti reale e immaginaria di cisoids o esponenziali complessi (alcuni riferimenti possono essere trovati a Come faccio a spiegare un esponenziale complesso intuitivamente? , Trama Wiggle 3D per un segnale analitico: Heyser cavatappi / spirale , trasformata di Fourier Identità ).

$s_{\omega,\phi}(t) = e^{2\pi i (\omega t+\phi)}$ $\mathrm{Re}(s_{\omega,0}(t))=\cos(2\pi \omega t)$ $\mathrm{Im}(s_{\omega,\pi/2}(t))=\cos(2\pi \omega t)$ $\omega$

{un'}_{1} S_{ω, φ_{1}} (t) + {un'}_{2} S_{ω, φ_{2}} (t) ?

$a_1 s_{\omega,\phi_1}(t) +a_2 s_{\omega,\phi_2}(t)\,?$

$a_1$ $a_2$ $e^{2 \pi i\phi_1}$ $e^{2 \pi i\phi_2}$

S_{ω, 0} (t) + un' S_{ω, φ} (t),

$s_{\omega,0}(t) +a s_{\omega,\phi}(t)\,,$

$|a|<1$

\begin{matrix} (1) & e^{2 π i (ω t)} + a e^{2 π i (ω t + ϕ)} \end{matrix}

$e^{2\pi i (\omega t)}+ae^{2\pi i (\omega t+\phi)}\label{a}\tag{1}$

e quindi come:

\begin{matrix} (2) & (1 + a e^{2 π i ϕ}) e^{2 π i (ω t)}, \end{matrix}

$(1+ae^{2\pi i\phi})e^{2\pi i (\omega t)}\,,\label{b}\tag{2}$

$(1+ae^{2\pi i\phi})$ $\alpha e^{2\pi i\varphi}$ $a$ -radius circle è come una piccola ruota che gira attaccato alla valvola (come i cerchi blu e rosso solo dall'immagine sopra). Un ora, guardiamo il movimento di un punto sul perimetro della piccola ruota.

$1$ $a$ $\alpha$ $\ref{a}$ $\ref{b}$

In altre parole, né una trasformata di Fourier, né un occhio umano, possono distinguere componenti con la stessa frequenza ma con fasi diverse .

[[Aggiungerò animazioni se trovo il tempo]]

— Laurent Duval
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