Come ridurre la risposta all'impulso di un sistema lineare da un insieme di segnali di input e output?

Voglio sapere come risolvere questi tipi di problemi ... è tramite ispezione?

Considera il sistema lineare di seguito. Quando gli input per il sistema , e , le risposte dei sistemi sono , e come mostrato. $x_1[n]$ $x_2[n]$ $x_3[n]$ $y_1[n]$ $y_2[n]$ $y_3[n]$

inserisci qui la descrizione dell'immagine

Determina se il sistema è invariante nel tempo o meno. Solo la tua risposta
Qual è la risposta all'impulso?

EDIT: supponendo un caso generale in cui gli input dati non contengono un impulso ridimensionato come $x_2[n]$

— Belbesy
fonte

Suggerimento: utilizzare e per determinare quale deve essere la risposta all'impulso di (poiché è solo un impulso in scala). Questo ti dà la risposta alla parte (b). Quindi, controlla gli altri due casi per vedere se gli input / output sono coerenti con quella risposta all'impulso (usando la proprietà di sovrapposizione di un sistema lineare) per ottenere una risposta per la parte (a).

x_{2} [n]

$x_2[n]$

y_{2} [n]

$y_2[n]$

T

$T$

x_{2} [n]

$x_2[n]$

— Jason R,

Questo è un problema più difficile nel caso generale. Se sono tutti così corti, conosci un limite superiore della durata della risposta all'impulso e hai abbastanza coppie input / output, quindi potresti impostare un sistema di equazioni lineari che potresti risolvere per arrivare all'impulso sconosciuto valori di risposta.

— Jason R,

Nel caso generale è anche del tutto possibile che non vi sia alcuna soluzione FIR o nessuna soluzione. Suggerimento: controllare i valori DC di x1 [n] e y1 [n].

— Hilmar,

Suggerimento: come appare il segnale ? Per un sistema LTI , la risposta dovrebbe essere , no? È? Inoltre, si noti che per un sistema di variante temporale lineare a tempo discreto , non esiste una risposta a impulsi unitari ma un'infinità di risposte a impulsi unitari, una per ogni istante in cui si verifica l'impulso dell'unità.

x_{2} [n] - x_{2} [n - 2]

$x_2[n]-x_2[n-2]$

y_{2} [n] - y_{2} [n - 2]

$y_2[n]-y_2[n-2]$

— Dilip Sarwate,

@DilipSarwate: sono d'accordo che questo è un terribile problema di compiti a casa. Tuttavia, il sistema sembra causale. Mentre è zero per , così è , quindi l'output del sistema non sta conducendo l'input nel tempo.

y_{3} [n]

$y_3[n]$

n = - 2

$n=-2$

x_{3} [n]

$x_3[n]$

— Jason R,

Risposte:

Non sono sicuro di cosa sia il maniaco della causalità o della sua mancanza. Puoi affrontare questo problema semplicemente pensando all'algebra lineare. è una trasformazione lineare. Applicare all'input è solo una moltiplicazione di matrice. Quindi abbiamo Se è un impulso, allora sta solo selezionando una colonna di , quindi le colonne di sono le risposte all'impulso. Naturalmente, 3 coppie input-output non sono sufficienti per determinare completamente come una matrice 5x5. $L$ $L$

L x = y

$Lx = y$

x

$x$

L

$L$

L

$L$

L

$L$

Consideriamo cosa significherebbe l'invarianza del tempo da questa prospettiva. Se una trasformazione è lineare e invariante nel tempo, la sua risposta all'impulso ha sempre la stessa forma e viene spostata nel tempo solo della stessa quantità dell'impulso di input. Quindi supponiamo che la risposta all'impulso per sia 0 1 2 3 0 centrata sull'impulso di input (e quindi non causale). La matrice per una invariante nel tempo lineare sarebbe quindi simile a: $L$ $L$

L = (\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 2 \end{array})

$L = \left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 2 \end{array}\right)$

Quindi, per rispondere alla prima domanda, devi solo costruire abbastanza di due colonne per vedere che sono diverse per confutare l'invarianza del tempo. Un modo diretto per farlo è quello di assumere che sia invariante nel tempo e derivare una contraddizione. Tuttavia, per dimostrare che è invariante nel tempo richiede più informazioni, cioè richiede di specificare completamente la matrice. Se non è invariante nel tempo, allora esiste una risposta all'impulso potenzialmente diversa per ciascun campione, non un singolo, come altri hanno già detto.

Alla fine, come altri hanno accennato, non possiamo effettivamente sapere se un sistema lineare è invariante nel tempo o quale sia la sua risposta all'impulso solo guardando brevi coppie input-output senza ulteriori informazioni. Per quanto ne sappiamo, è un filtro FIR da 1.000.000 di larghezza o addirittura un filtro IIR che sembra essere 0 vicino al centro. Oppure sembra invariante nel tempo finora, ma cambia nel prossimo esempio. In generale, dobbiamo usare test multipli di ipotesi per scegliere quale sia la prova migliore. La teoria della probabilità è una parte cruciale dell'elaborazione del segnale. $L$

— Derek Elkins ha lasciato SE
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Sembra che ci sia un'immagine che è sparita ora e quindi potrei mancare qualcosa.

Per dichiarare se il sistema è invariante, dovresti vedere se un ritardo dell'ingresso produce solo un ritardo nell'uscita.
Nel tuo caso, l'ingresso produce ed ecc ... $x_1[n-m]$ $y_1[n-m]$
Se i segnali di ingresso sono limitati di banda e la loro larghezza di banda è inferiore al sistema, non sarà possibile ripristinare la risposta all'impulso.
Sarai in grado di ottenere la risposta solo nelle frequenze in cui l'ingresso ha energia.
Ciò potrebbe essere fatto mediante l'analisi della frequenza dell'ingresso e dell'uscita.
Se il tuo sistema è effettivamente LTI, la connessione tra input e output è data dalla convoluzione con la risposta all'impulso.
La convoluzione è una moltiplicazione nel dominio della frequenza, quindi è possibile ottenere facilmente la risposta all'impulso (Ancora una volta, solo alle frequenze in cui l'ingresso ha energia).

Aggiornare

Questo è un buon caso per mostrare la proprietà commutativa della convoluzione.

$y \left[ n \right] = \left( h \ast x \right) \left[ n \right] = \left( x \ast h \right) \left[ n \right]$

Come scritto sopra, un modo per farlo scrive il problema in forma di matrice.

— Royi
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L'immagine è tornata ora. Sembra che tu abbia una domanda molto specifica. Quindi la mia risposta, che era molto più generale, non è abbastanza focalizzata.

— Royi,