Qual è la spiegazione più lucida e intuitiva per i vari FT - CFT, DFT, DTFT e la serie di Fourier?

Anche dopo averli studiati per un po 'di tempo, tendo a dimenticare [se non sono in contatto per un po'] come sono collegati l'uno all'altro e cosa rappresenta ciascuno [poiché hanno nomi simili dal suono simile]. Spero che ti venga in mente una spiegazione così intuitiva e matematicamente bella che rimarranno per sempre nella mia memoria e questo thread servirà come un aggiornamento super rapido ogni volta che io (o chiunque altro) ne abbia bisogno.

Ho scritto questo volantino come complemento di Oppenheim e Willsky . Dai un'occhiata alla Tabella 4.1 a pagina 14, riprodotta di seguito. (Fare clic per ingrandire l'immagine.) Ho scritto quella tabella appositamente per rispondere a domande come la tua.

Nota le somiglianze e le differenze tra le quattro operazioni:

1. "Serie": periodica nel tempo, discreta in frequenza
2. "Trasforma": aperiodico nel tempo, continuo in frequenza
3. "Tempo continuo": continuo nel tempo, aperiodico in frequenza
4. "Tempo discreto": tempo discreto, frequenza periodica

Spero che queste note ti siano state utili! Sentiti libero di distribuire come desideri.

Per una spiegazione lucida e corretta di questi concetti, dovresti leggere alcuni dei libri di testo standard (Oppenheim-Schafer, Proakis-Manolakis o "Understanding Digital Signal Processing" di Richard Lyons che è un libro molto buono ma relativamente meno popolare) . Ma supponendo una discussione al tavolino, farò alcune affermazioni estremamente vaghe in quanto segue. :)

Per un segnale di tempo continuo generale, non ti aspetteresti che una particolare frequenza sia assente, quindi la sua Trasformata di Fourier (o Trasformata di Fourier continua) sarebbe una curva continua con supporto possibilmente da -inf a + inf.

Per un segnale continuo periodico (periodo T), Fourier ha espresso il segnale come una combinazione di seni e coseni che hanno lo stesso periodo (T, T / 2, T / 3, T / 4, ...). In effetti, lo spettro di questo segnale è una serie di picchi nelle posizioni 1 / T, 2 / T, 3 / T, 4 / T, ... Questa è chiamata rappresentazione della serie di Fourier. C'è un teorema che dice che la rappresentazione in serie di Fourier di qualsiasi segnale periodico di tempo continuo converge al segnale quando includi sempre più seni e coseni (o esponenziali complessi) nel senso medio quadrato.

Finora morale: periodicità nel tempo => spettro appuntito

A tempo discreto ... Cosa succede se si campiona un segnale orario continuo? Dovrebbe essere chiaro che per un segnale sufficientemente alto, non si sarebbe in grado di ricostruire il segnale. Se non si assume alcuna ipotesi sulle frequenze nel segnale, quindi dato il segnale campionato, non è possibile dire quale sia il vero segnale. In altre parole, diverse frequenze sono rappresentate in modo equivalente nel segnale a tempo discreto. Passare attraverso alcuni calcoli ti dice che puoi ottenere lo spettro del segnale campionato dal segnale continuo originale. Come? Sposti lo spettro del segnale orario continuo di quantità + -1 / T, + -2 / T, ... e aggiungi tutte le copie spostate (con un po 'di ridimensionamento). Questo ti dà uno spettro continuo periodico con il periodo 1 / T. (nota: lo spettro è periodico a causa del campionamento nel tempo, il segnale orario non deve essere periodico) Poiché lo spettro è continuo, puoi anche rappresentarlo con solo uno dei suoi periodi. Questa è la DTFT (trasformata di Fourier "Discrete-Time"). Nel caso in cui il segnale di tempo continuo originale abbia frequenze non superiori a + -1 / 2T, le copie spostate dello spettro non si sovrappongono e, pertanto, è possibile ripristinare il segnale di tempo continuo originale selezionando un periodo dello spettro ( il teorema del campionamento di Nyquist).

Un altro modo per ricordare: segnale del tempo appuntito => periodicità nello spettro

Cosa succede se si campiona un segnale periodico a tempo continuo con il periodo di campionamento T / k per qualche k? Bene, lo spettro del segnale del tempo continuo era irto di essere con, e campionarlo da qualche divisore di T significa che i picchi nelle copie spostate cadono esattamente su multipli di 1 / T, quindi lo spettro risultante è uno spettro periodico appuntito . segnale periodico appuntito <=> spettro periodico appuntito (supponendo che il periodo e la frequenza di campionamento siano "ben correlati" come sopra.) Questo è ciò che è noto come DFT (discreta trasformata di Fourier). FFT (Fast Fourier Transform) è una classe di algoritmi per calcolare il DFT in modo efficiente.

Il modo in cui viene invocato il DFT è il seguente: Supponiamo che tu voglia analizzare una sequenza di N campioni nel tempo. Potresti prendere DTFT e gestire uno dei suoi periodi, ma se presumi che il tuo segnale sia periodico con il periodo N, allora DTFT si riduce a DFT e hai solo N campioni di un periodo di DTFT che caratterizzano completamente il segnale. È possibile azzerare il segnale in tempo per ottenere un campionamento più fine dello spettro e (molte altre di tali proprietà).

Tutto quanto sopra è utile solo se accompagnato da uno studio di DSP. Quanto sopra sono solo alcune linee guida molto approssimative.

Sia una funzione limitata con il periodo , ovvero per tutti i numeri reali , . Come esempio particolare, è una tale funzione. Vogliamo trovare l'approssimazione "migliore" per questa funzione in cui desideriamo scegliere il coefficiente modo che l' errore al quadrato è il più piccolo possibile. Espandendo l'integrando, abbiamo $x(t)$$T$$t$$x(t+T) = x(t)$$\cos(2\pi t/T)$$a_n\cos(2\pi nt/T)$$a_n$

$$\int_0^T (x(t) - a_n\cos(2\pi nt/T))^2\,\mathrm dt,$$ $$\text{squared error} = \int_0^T x^2(t)\,\mathrm dt - 2a_n \int_0^T x(t)\cos(2\pi nt/T)\,\mathrm dt +(a_n)^2\int_0^T \cos^2(2\pi nt/T)\,\mathrm dt.$$ L'integrale più a sinistra è l'energia erogata da un periodo di mentre l'integrale più a destra ha valore e quindi vediamo che Adesso. per , la funzione quadratica ha un minimo in (a metà strada tra le radici ! !) e così, dato che abbiamo espresso l'errore al quadrato come una funzione quadratica di , la scelta di che minimizza l'errore al quadrato è $E$$x(t)$$T/2$ $$\text{squared error} = E - 2a_n \int_0^T x(t)\cos(2\pi nt/T)\,\mathrm dt +(a_n)^2\frac{T}{2}.$$ $a > 0$$az^2 + bz + c$$z = -b/2a$$(-b/2a) \pm \sqrt{b^2 - 4ac}/2a$$a_n$$a_n$b n b n = $$a_n = \frac{2}{T}\int_0^T x(t)\cos(2\pi nt/T)\,\mathrm dt.$$ Allo stesso modo, scegliendo come minimizza l'errore al quadrato tra e . Quindi vediamo che la serie di Fourier non è altro che un trucco economico per trovare l'approssimazione dell'errore al quadrato minimo ad una funzione periodica in termini di segnali seno e coseno dello stesso periodo e delle sue armoniche.$b_n$x ( t ) b n sin ( 2 π n t / T ) x ( t $$b_n = \frac{2}{T}\int_0^T x(t)\sin(2\pi nt/T)\,\mathrm dt$$ $x(t)$$b_n\sin(2\pi nt/T)$$x(t)$

Endolith ha ragione in questo, se inizi davvero con la serie di Fourier e vedi come viene estesa alla trasformazione di Fourier, allora le cose iniziano a dare un senso. Fornisco una breve spiegazione per questo nella prima metà di questa risposta .

Un buon (forse non semplice) modo di vedere la famiglia di trasformate di Fourier (con cui intendo i 4 che hai elencato sopra), è attraverso gli occhiali duality di Pontryagin . Ti dà un bel modo di ricordare le diverse trasformazioni dai domini originali e trasformati.

Per una funzione a valore complesso su (presupponendo che esistano altre condizioni necessarie per l'esistenza di FT), la sua trasformata di Fourier è anche una funzione a valore complesso su . Lo spazio è un dualismo di Pontryagin e puoi dire che se una trasformazione nell'intera famiglia ha sia come dominio originale che trasformato, allora è la trasformata di Fourier (o CFT, come l'hai chiamato).R R $\mathbb{R}$$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$

Una sequenza a valore complesso di numeri può essere vista come una funzione a valore complesso periodica su , che è un gruppo intero ciclico modulo (vedi gruppi abeliani finiti per maggiori informazioni). La trasformazione per questa sequenza ha anche il dominio (auto-doppio) e questa è la trasformata di Fourier discreta.Z / n Z n Z / n $n$$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$n$$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

Il dominio del cerchio unitario, (tutti i numeri complessi con valore assoluto 1; vedi anche gruppo di cerchi ) e l'insieme di numeri interi sono doppi di Pontryagin l'uno dell'altro. Simile ai primi due, esiste una trasformazione tra in ed è ciò che noi chiamiamo la trasformata di Fourier a tempo discreto e viceversa è la serie di Fourier , da cui tutto ha avuto inizio.Z Z $\mathbb{T}$$\mathbb{Z}$$\mathbb{Z}$$\mathbb{T}$

Questa risposta non è completa e forse baserò su questa risposta per chiarire alcuni punti quando avrò il tempo, ma fino ad allora, questo potrebbe essere qualcosa da masticare fino a quando non ottieni una spiegazione più intuitiva da qualcun altro. Prova anche a leggere varianti dell'analisi di Fourier su Wikipedia.

Penso che la cosa principale sia capire fondamentalmente perché abbiamo bisogno di trasformazioni di Fourier. Sono una delle tante trasformazioni possibili del segnale, ma anche una delle più utili. Una trasformazione trasforma fondamentalmente un segnale in un altro dominio che può darci informazioni sul segnale in quel dominio, oppure può essere che il dominio sia matematicamente facile da lavorare. Una volta che abbiamo finito di lavorare in quel dominio, possiamo prendere la trasformazione inversa per ottenere più facilmente il risultato desiderato.

I mattoni fondamentali nella teoria di Fourier sono i monotoni (seno e coseno). Possiamo decomporre un segnale nei suoi componenti di frequenza (monotoni) usando la matematica di Fourier. Quindi, la trasformata di Fourier trasforma sostanzialmente un segnale dal dominio del tempo al dominio della frequenza. Il coefficiente di ciascuno dei monotoni della serie di Fourier ci dice della forza di quel componente di frequenza nel segnale. Le trasformate di Fourier (CFT, DFT) ci forniscono esplicitamente una vista del dominio in frequenza del segnale. In natura, seno e coseno sono le forme d'onda prominenti. Segnali sintetici come l'onda quadra o segnali con fluttuazioni acute hanno meno probabilità di verificarsi in modo naturale e non sorprendentemente compongono una gamma infinita di frequenze, come spiegato molto chiaramente da trasformazioni di Fourier. La gente dubitava che qualsiasi segnale potesse essere scritto come somma di seno / coseno. Fourier ha mostrato che la forma d'onda quadrata (che è lontana dai seni / coseni) può essere davvero. Il rumore bianco contiene tutte le frequenze con uguale intensità.

Inoltre, se si lavora con le serie di Fourier, i coefficienti insieme al termine della fase possono essere visti come quelli richiesti per sovrapporre correttamente le forme d'onda sinosoidali costituenti in modo che la sovrapposizione sia effettivamente il segnale richiesto di cui si sta eseguendo la trasformazione. Quando si lavora con trasformazioni di Fourier, i numeri complessi implicitamente hanno i termini di fase e l'entità richiesta di ciascuno dei monotoni. (l'integrazione è approssimativamente simile alla somma. continuazione => integrazione, discreta => somma)

Penso che una volta che hai capito il tema di un concetto, tutto il resto sono solo dettagli che dovrai capire tu stesso leggendo i libri. Leggere sull'applicazione delle trasformazioni di Fourier in vari campi ti darà una migliore percezione.

Un DFT è una trasformazione di un vettore di coppie di numeri da uno spazio ortogonale a un altro. Molto comunemente fatto come un calcolo numerico. Per qualche ragione, quando si prende un mazzo di numeri dal mondo reale, il 2 ° mazzo di numeri risulta spesso abbastanza vicino a qualcosa di abbastanza utile.

Mi viene in mente L'irragionevole efficacia della matematica nelle scienze naturali , soprattutto per quanto riguarda l'applicazione del DFT a molti sistemi, sembra essere approssimata da vari tipi di equazioni differenziali di secondo grado, persino dal suono del cucchiaino da caffè che ho appena lasciato cadere.

Le altre 3 XYZ-FT fanno ipotesi sull'esistenza di alcune entità mitiche infinite per aiutare le soluzioni simboliche a adattarsi alla lavagna prima che il caffè diventi troppo freddo. Sono le "mucche sferiche" dell'elaborazione del segnale. La DTFT e la serie di Fourier fingono che un vettore possa essere esteso all'infinito a costo della densità infinita dell'altra entità. La serie di Fourier finge che entrambe le entità possano essere infinite funzioni continue.

Segui abbastanza corsi di matematica e potresti persino determinare tutte le definizioni e le ipotesi richieste per rendere queste entità immaginarie esatte e completare i doppi in un certo senso.