Il "campionamento complesso" può interrompere Nyquist?

Ho sentito aneddoticamente che i segnali complessi di campionamento non hanno bisogno di seguire le frequenze di campionamento di Nyquist ma che possono effettivamente essere eliminati con metà delle frequenze di campionamento di Nyquist. Mi chiedo se ci sia della verità in questo?

Da Nyquist, sappiamo che per campionare in modo inequivocabile un segnale, dobbiamo campionare almeno più del doppio della larghezza di banda di quel segnale. (Qui sto definendo la larghezza di banda come nel collegamento wiki , ovvero l'occupazione della frequenza positiva). In altre parole, se il mio segnale esiste da -B a B, devo campionare almeno> 2 * B per soddisfare nyquist. Se mescolassi questo segnale fino a fc e volessi fare il campionamento passa-banda, avrei bisogno di campionare almeno> 4 * B.

Questo è ottimo per segnali reali.

La mia domanda è: c'è qualche verità nell'affermazione che un segnale di banda base complesso (noto anche come uno che esiste solo su un lato dello spettro di frequenza) non deve essere campionato ad una frequenza di almeno> 2 * B, ma può in effetti essere adeguatamente campionato ad un tasso di almeno> B?

(Tendo a pensare che in questo caso si tratti semplicemente di una semantica, perché per rappresentare completamente il fasore rotante, devi ancora prendere due campioni (uno reale e uno immaginario) per tempo di campionamento, quindi seguendo rigorosamente Nyquist .. .)

Quali sono i tuoi pensieri?

La tua comprensione è corretta. Se campionamento alla frequenza , quindi solo con campioni reali, puoi rappresentare in modo inequivocabile il contenuto di frequenza nella regione (sebbene si applichi ancora il caveat che consente il campionamento della banda passante ). Nessuna ulteriore informazione può essere contenuta nell'altra metà dello spettro quando i campioni sono reali, poiché i segnali reali mostrano una simmetria coniugata nel dominio della frequenza; se il tuo segnale è reale e conosci il suo spettro da a , allora puoi concludere banalmente qual è l'altra metà del suo spettro.$f_s$$[0, \frac{f_s}{2})$$0$$\frac{f_s}{2}$

Non esiste una tale limitazione per segnali complessi, quindi un segnale complesso campionato alla frequenza può contenere in modo inequivocabile contenuto da a (per una larghezza di banda totale di ). Come hai notato, tuttavia, non c'è un miglioramento intrinseco dell'efficienza da apportare qui, poiché ogni campione complesso contiene due componenti (reali e immaginari), quindi mentre richiedi la metà del numero di campioni, ognuno richiede il doppio della quantità di archiviazione dei dati, che annulla nessun beneficio immediato. I segnali complessi vengono spesso utilizzati nell'elaborazione del segnale, tuttavia, in presenza di problemi che si associano bene a quella struttura (come nei sistemi di comunicazione in quadratura).$f_s$$-\frac{f_s}{2}$$\frac{f_s}{2}$$f_s$

C'è anche un semplice approccio per spiegare questo: se il segnale in banda base reale ha uno spettro da -B a + B, campionate con 2B, quindi assicuratevi che le ripetizioni spettrali dello spettro non si sovrappongano. Una sovrapposizione significherebbe che si ottiene l'aliasing e non è possibile ricostruire lo spettro originale.

Ora con un segnale complesso, lo spettro varia, come menzionato da Jason, da 0 a B. (Teoricamente può anche avere spettro a frequenze negative, ma per la maggior parte dei casi pratici varierà da 0 a B.) Se campionate con tasso B, poiché non vi sono parti a frequenze negative nello spettro originale, le ripetizioni dello spettro non si sovrapporranno -> è possibile una ricostruzione inequivocabile!

Direi che è un "No" qualificato, nel senso che il numero di singoli campioni reali non è stato adeguatamente chiarito, insieme allo scopo di scegliere il tasso di digitalizzazione del segnale.

Innanzitutto, tutti i segnali del mondo reale sono reali, piuttosto che complessi. Cioè, ogni volta che ci troviamo di fronte a una rappresentazione complessa, in realtà abbiamo due (reali) punti dati, che dovrebbero essere presi in considerazione nel limite di "Nyquist".

Il secondo problema sono le "frequenze negative", come percepite dalla banda base. Quasi tutti gli insegnamenti di campionamento provengono da una prospettiva in banda base, quindi le frequenze tendono ad essere 0..B, che viene quindi campionato a fs. Le frequenze negative vengono in qualche modo ignorate (usando l'identità coniugata complessa).

È possibile pensare al segnale in banda base come se fosse modulato a frequenza zero, tuttavia l'avvio della modulazione del vettore nel punto nominale fs / 2 può essere illuminante, poiché vediamo quindi le due bande laterali e il termine (matematico) complesso da il Corriere. La frequenza precedentemente negativa si è spostata. E potremmo non avere più la complessa identità coniugata.

Se l'identità coniugata complessa è stata eliminata, non abbiamo più la frequenza di piegatura e abbiamo un semplice aliasing.

Quindi, se abbiamo un segnale reale HF che viene campionato per fornire la demodulazione della rappresentazione complessa, senza ripiegamento, in un certo senso finiamo con una larghezza di banda fs / 4 (+/- B). Per ogni 4 campioni di dati (0, 90, 180, 270 gradi) vengono emessi due valori che rappresentano i componenti in fase (0 - 180) e quadratura (90 - 270) del campione complesso complessivo.

In un mondo completamente complesso, se il segnale è complesso, la frequenza di campionamento è complessa, risultando in due volte i termini. Dipende dalle caratteristiche matematiche necessarie al di fuori del segnale campionato.