Perché ci sono colline a forma di pettine in un periodogramma?

Sto giocando con il periodogramMATLAB. Ho creato un semplice script per osservare come si comporta:

rng(1);  %# initialize the random number generator

Fs = 1000;  %# Sampling frequency
duration = 0.1; %# seconds

A = 1; %# Sinusoid amplitude
f = 150; %# Sinusoid frequency
eps = 0.01;

t = 0:1/Fs:duration;
x = A * sin(2*pi*f*t) + eps * randn(size(t));

periodogram(x,[],1024,Fs);

inserisci qui la descrizione dell'immagine

Non ho problemi con il codice e posso scrivere la mia periodogramfunzione usando gli algoritmi indicati nella documentazione, ma mi chiedo il motivo teorico dietro le colline a pettine che non sono 150 Hz. Cosa ottengo quelli invece di ottenere un singolo picco oltre 150 Hz? C'è qualcosa di speciale nelle distanze delle vette di queste colline?

frequency-response

— petrichor
fonte

Risposte:

Non sono del tutto soddisfatto della risposta di Itamar Katz, quindi ecco la mia spiegazione.

Il DFT di un segnale complesso di lunghezza , è $N$ $x[n]=e^{\imath 2\pi f n/N}$

X [k] = F {x [n]} = \frac{e^{ı 2 π (f - k)} - 1}{e^{ı 2 π (f - k) / N} - 1}

$X[k]=\mathcal{F}\{x[n]\}=\frac{e^{\imath 2\pi (f-k)}-1}{e^{\imath 2\pi (f-k)/N}-1}$

Quindi, la potenza o la risposta al quadrato della grandezza è data da

{| X [k] |}^{2} = {(\frac{\sin (π (f - k))}{\sin (π (f - k) / N)})}^{2}

$\left\vert X[k]\right\vert^2 = \left(\frac{\sin\left(\pi(f-k)\right)}{\sin\left(\pi(f-k)/N\right)}\right)^2$

Come puoi vedere, l'espressione sopra è zero ogni volta che è un numero intero. Puoi convincerti che il denominatore è zero in un solo punto e, a questo punto, prendere i limiti ti dà un valore per il rapporto. Quindi, non vi è alcun punto in cui l'espressione esploda. $f-k$ $N^2$

Ora quando prendi il log dell'espressione precedente, è (o del resto, in qualsiasi base) e quindi ottieni valori nulli ovunque tu abbia uno zero. Questo è ciò che si traduce nel "pettine come colline" nella tua trama. $log_{10}(0)$ $-\infty$

Ecco una breve illustrazione in Mathematica:

Clear@X
X[f_, n_] := (Sin[π (f - #)]/Sin[π (f - #)/n])^2 &
Plot[X[3, 10][k], {k, -5, 5}, PlotRange -> All]

inserisci qui la descrizione dell'immagine

La frequenza è sull'asse x e la potenza (lineare) è sull'asse y. Puoi vedere che gli zeri si verificano a valori interi e il picco è a 3, che è la frequenza che avevo scelto. Ora prendendo di quanto sopra, ottieni null che danno origine alla struttura a pettine $log_{10}$

inserisci qui la descrizione dell'immagine

Ecco un altro esempio con una più grande , che mostra più null. $N$

inserisci qui la descrizione dell'immagine

— Lorem Ipsum
fonte

Un singolo picco (come lo chiami tu) appare teoricamente solo per una sinusoide di lunghezza infinita. Poiché il segnale è lungo 100 campioni, non è infinito. In realtà hai moltiplicato il tuo segnale infinito con una finestra che ha un valore di 1 su 100 campioni e 0 altrove. Poiché la moltiplicazione nel dominio del tempo equivale alla convoluzione nel dominio della frequenza, il tuo spettro è una convoluzione del singolo picco e della risposta in frequenza della finestra (tra cui si chiama finestra rettangolare). Questa è la funzione che hai.

Ti consiglio di leggere le finestre: http://en.wikipedia.org/wiki/Window_function

— Itamar Katz
fonte

+1 Oh, sapevo della finestra ma non riuscivo a creare il collegamento. Grazie!

— petrichor,

Viene visualizzato un singolo picco indipendentemente dalla finestra utilizzata, se la frequenza corrisponde esattamente alla lunghezza della finestra. gist.github.com/236567

— endolith

Questo non è corretto Per una finestra rettangolare questo è vero, dal momento che si campiona la funzione finestra nel dominio della frequenza esattamente nei suoi zeri, quindi si è "ciechi" ai lobi laterali. Tuttavia non è vero per una funzione di finestra generale.

— Itamar Katz,

vedi esempio git: //gist.github.com/1403819.git

— Itamar Katz,

@ItamarKatz: Sì, hai ragione. Intendevo "senza finestra".

— endolith