Media del dominio del tempo FFT rispetto alla media del bin di frequenza

Ho più prove di dati fisiologici. Sto facendo un'analisi basata sulla frequenza per analizzare la potenza (ampiezza) in determinate frequenze di interesse. La media di prove multiple di uguale lunghezza e quindi prendere una singola FFT del segnale mediato rispetto a calcolare FFT per ciascuna prova e quindi fare la media dei bin di frequenza è la stessa? In pratica sto scoprendo che non è così.

In particolare, il segnale ha naturalmente un forte componente 1 / f e questo viene enfatizzato se computo la FFT di ogni singolo test e quindi la media delle ampiezze (parte reale) di ciascun bin di frequenza. I due sono equivalenti? c'è un modo giusto di fare le cose? o in quali condizioni di principio dovrebbe essere fatta la scelta tra la media del dominio del tempo e la media del bin di frequenza?

Vorrei chiarire.

• La trasformata di Fourier non rappresenta l'istogramma del segnale. La trasformata di Fourier è una trasformazione lineare che prende il segnale dal dominio del tempo (funzione complessa) al dominio della frequenza (un'altra funzione complessa). Prende una funzione complessa per un'altra funzione complessa.
• La trasformata di Fourier è lineare come sottolineato dal poster sopra.
• La fase nei campioni è importante come indicato sopra. Se i dati di prova in prova variano in fase, allora non si desidera fare la media prima di effettuare una trasformazione di Fourier, ma non si desidera anche fare la media dopo la trasformazione di Fourier. Vuoi fare una media dopo la trasformazione e la norma di Fourier. Di seguito elencherò esattamente ciò che deve essere fatto.

Il problema principale qui è che la domanda è posta in modo errato. Non è "dovrei prendere la trasformata di Fourier prima della media o dopo la media". Perché non fa alcuna differenza a causa della linearità della trasformata di Fourier.

La domanda corretta da porsi è "dovrei prendere l'ampiezza della trasformata di Fourier prima della media o dopo la media". Per questa domanda, la risposta è prima.

Ecco i dettagli

Supponiamo che i tuoi dati campionati siano rappresentati dalle sequenze:

$d_1=d_1[n_1],d_1[n_2],...d_1[n_N]$

$d_2=d_2[n_1],d_2[n_2],...d_2[n_N]$

$d_3=d_3[n_1],d_3[n_2],...d_3[n_N]$

...

$d_M=d_M[n_1],d_M[n_2],...d_M[n_N]$

dove sono dati da studi M e n 1 , . . . n N sono punti temporali campionati, quindi:$d_1,...d_M$$n_1,...n_N$

$F_1 = \sum_{j=1}^M{|\mathcal{F}\{d_j\}|} \neq |\mathcal{F}\{\sum_{j=1}^M{d_j}\}| = F_2$

Quindi, mentre la trasformazione è lineare, | F | non è.$\mathcal{F}$$|\mathcal{F}|$

Inoltre, mentre è reale per tutti i , j , F { d j } non lo è, ma | F { d j } | è.$d_j[n_i]$$i,j$$\mathcal{F}\{d_j\}$$|\mathcal{F}\{d_j\}|$

Per quanto riguarda ciò che dovresti fare, dovresti prendere la trasformata di Fourier delle prove individuali (via FFT), ottenere l'ampiezza delle prove individuali e una media delle stesse insieme.

Infine, ciò che è . 1 / f è un breve termine per lo spettro di frequenza dei segnali "naturali" (di solito le persone pensano alle immagini).$1/f$$1/f$

Quando le persone dicono che esiste un grande componente , significa che l'ampiezza in funzione della frequenza appare come 1 / f . È totalmente ondulato a mano ... probabilmente proveniente da un biologo: p$1/f$$1/f$

La trasformata inversa di Fourier di è una funzione di segno, ma è inutile. È una funzione del segno immaginario! Le funzioni reali generano una trasformata simmetrica di Fourier.$1/f$

$1/f$$|\mathcal{F}\{x(t)\}| = |1/f|$$x(t)$

$1/f$

Altrettanto importante una domanda, cosa ti acquista in media? e più importante è come interpretare il risultato? Sintonizzati domani per una discussione più approfondita: p

Innanzitutto, la FFT è un algoritmo. La trasformazione si chiama trasformata di Fourier! Rappresenta l'istogramma dei segnali. Nel caso discreto, un'alta lettura nei domini di frequenza significa molta energia a quella frequenza.

Non è necessario calcolare la media dei dati prima della FFT poiché le informazioni sulla fase causeranno cambiamenti significativi nei dati.

Immagina 2 campioni ciascuno costituito da un puro coseno. Nel mondo reale non catturerai mai questo coseno nello stesso identico punto di partenza. Un coseno verrà spostato in modo reticente rispetto all'altro (o entrambi avranno spostamenti diversi in relazione all'inizio. Matematicamente questo sta dicendo y1 = cos (wt-A) y2 = cos (wt-B) dove A e B sono turni. Nel tuo modello questi due meglio si presentano come la stessa cosa. Con un po 'di matematica posso scegliere questi valori in modo che y2-y1 = 0. La media di zero è zero e del tutto non è quello che vuoi. Questo è il problema di fase.

Se il tuo obiettivo è trovare lo spettro medio che dovresti eseguire la media tra gli spettri, non fare la media dei segnali!

A meno che non sia completamente fuori base o fraintenda la tua domanda, la risposta è sì : per linearità del DFT, fare la media dei segnali nel tempo e quindi prendere il DFT della media equivale a fare la media dei DFT dei segnali.

Per mostrarlo, definiamo alcune variabili:

• $x_{n}[\ell]$$\ell^{th}$$n$
• $X_{k}[\ell]$$\ell^{th}$$k$

$\frac{1}{L} \sum_{\ell=0}^{L} x_{n}[\ell]$

$\sum_{n=0}^{N-1} \frac{1}{L} \sum_{\ell}^{L} x_{n}[\ell] e^{-i 2 \pi k n / N}$

Cambiando l'ordine delle somme, possiamo scrivere

$\frac{1}{L} \sum_{\ell=0}^{L} \sum_{n=0}^{N-1} x_{n}[\ell] e^{-i 2 \pi k n / N},$

ma questo è lo stesso di

$\frac{1}{L} \sum_{\ell=0}^{L} X_{k}[l]$

che è lo stesso della media dei DFT di ogni trival. Questo è ciò che volevamo mostrare.