Quali sono le fasi di pre-elaborazione appropriate per eseguire l'analisi indipendente dei componenti?

Quali sono i passi corretti per preelaborare le mie forme d'onda al fine di eseguire successivamente un'analisi dei componenti indipendenti (ICA)? Capisco il come, sebbene ulteriori spiegazioni di ciò non facciano male, ma sono più interessato al perché.

preprocessing ica

— jonsca
fonte

Non sono sicuro del motivo per cui è necessario il preelaborazione. C'è qualche motivo particolare?

— Phonon,

@Phonon Ho incontrato investigatori che hanno trasformato i loro dati prima di eseguire l'ICA su di essi. Mi chiedevo solo se esistesse un metodo standard.

— jonsca,

Molto interessante. Mi piacerebbe vedere una risposta costruttiva.

— Phonon,

Nel caso dell'analisi spettrale sui segnali EEG, le persone imbiancano per ridurre l'effetto dominante della forma

dello spettro, che spesso nasconde cose interessanti alle alte frequenze. C'è almeno una piccola discussione di questo qui nei materiali supplementari. Se questo è un trucco comune prima dell'ICA in particolare, non sono sicuro. I segnali EEG / MEG / LFP dell'applicazione sono? Forse qualcuno che fa ICA può dare una risposta completa, se il mio sospetto è giusto. Domanda interessante - La leggerò.

1 / f

${1}/{f}$

— ImAlsoGreg,

@Gigili Anche questa è una domanda. Quali sono quelli considerati i normali passaggi?

— jonsca,

L'analisi dei componenti indipendenti (ICA) viene utilizzata per separare una miscela lineare di componenti statisticamente indipendenti e, soprattutto, non gaussiani ^† nei suoi costituenti. Il modello standard per un ICA privo di rumore è

X = UN S

$\mathbf{x}=\mathbf{As}$

dove è il vettore di osservazione o dati, è un segnale sorgente / componenti originali (non gaussiani) e è un vettore di trasformazione che definisce la miscelazione lineare dei segnali costituenti. In genere, e sono sconosciuti. $\mathbf{x}$ $\mathbf{s}$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{s}$

Pre-processing

Ci sono due principali strategie di pre-elaborazione in ICA, vale a dire centratura e sbiancamento / sferica. I motivi principali della pre-elaborazione sono:

Semplificazione degli algoritmi
Riduzione della dimensionalità del problema
Riduzione del numero di parametri da stimare.
Evidenziando le caratteristiche del set di dati non spiegate facilmente dalla media e dalla covarianza.

Dall'introduzione di G. Li e J. Zhang, "Sphering and its properties", The Indian Journal of Statistics, Vol. 60, serie A, parte I, pagg. 119-133, 1998:

Valori anomali, cluster o altri tipi di gruppi e concentrazioni vicino a curve o superfici non piane sono probabilmente le caratteristiche importanti che interessano gli analisti di dati. In generale, non sono ottenibili attraverso la semplice conoscenza della media campionaria e della matrice di covarianza. In queste circostanze, è desiderabile separare le informazioni contenute nelle matrici media e covarianza e ci costringe a esaminare aspetti dei nostri set di dati diversi da quelle nature ben comprese. Centratura e sfera è un approccio semplice e intuitivo che elimina le informazioni di covarianza media e aiuta a evidenziare strutture al di là della correlazione lineare e delle forme ellittiche, e quindi viene spesso eseguito prima di esplorare display o analisi di set di dati

1. Centratura:

La centratura è un'operazione molto semplice e si riferisce semplicemente alla sottrazione della media . In pratica, si utilizza la media di esempio e si crea un nuovo vettore , dove è la media dei dati. Geometricamente, sottrarre la media equivale atradurreil centro delle coordinate nell'origine. La media può sempre essere aggiunta nuovamente al risultato alla fine (ciò è possibile perché la moltiplicazione della matrice è distributiva). $\mathbb{E}\{\mathbf{x}\}$ $\mathbf{x}_c=\mathbf{x}-\overline{\mathbf{x}}$ $\overline{\mathbf{x}}$

2. Sbiancamento:

Sbiancamento è una trasformazione che converte i dati in modo tale che esso ha una matrice di covarianza di identità, cioè, . Normalmente, lavori con la matrice di covarianza di esempio, $\mathbb{E}\{\mathbf{x}_c\mathbf{x}_c^T\}=\mathbf{I}$

\hat{Σ} = C . X_{c} X_{c}^{T}

$\widehat{\mathbf{\Sigma}}=C.\mathbf{x}_c\mathbf{x}_c^T$

dove è solo il mio segnaposto pigro per il fattore di normalizzazione appropriato (a seconda delle dimensioni di ). Un nuovo vettore sbiancato viene creato come $C$ $\mathbf{x}$

X_{w} = {\hat{Σ}}^{- 1 / 2} X_{c}

$\mathbf{x}_w=\widehat{\mathbf{\Sigma}}^{-1/2}\mathbf{x}_c$

che avrà una covarianza di . Geometricamente, lo sbiancamento è una trasformazione in scala . Ecco un piccolo esempio in Mathematica: $\mathbf{I}$

s = RandomReal[{-1, 1}, {2000, 2}];
A = {{2, 3}, {4, 2}};
x = s.A;
whiteningMatrix = Inverse@CholeskyDecomposition[Transpose@x.x/Length@x];
y = x.whiteningMatrix;
FullGraphics@GraphicsRow[
  ListPlot[#, AspectRatio -> 1, Frame -> True] & /@ {s, x, y}]

inserisci qui la descrizione dell'immagine

Il primo diagramma è la densità articolare di due vettori casuali distribuiti uniformemente, o i componenti . Il secondo mostra l'effetto di moltiplicazione per un vettore di trasformazione . Il quadrato viene inclinato e ridimensionato in un rombo. Moltiplicandosi con la matrice sbiancante, la densità articolare ritorna su un quadrato leggermente ruotato rispetto all'originale. $\mathbf{s}$ $\mathbf{A}$

$\mathbf{x}_w=\mathbf{A}_w\mathbf{s}_w$ $\mathbf{A}_w$

\begin{aligned} E {X_{w} X_{w}^{T}} & = E {{UN}_{w} S_{w} ({UN}_{w} S_{w})^{T}} \\ = {UN}_{w} E {S_{w} S_{w}^{T}} {UN}_{w}^{T} \\ = {UN}_{w} {UN}_{w}^{T} = io \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{E}\{\mathbf{x}_w\mathbf{x}_w^T\}&=\mathbb{E}\{\mathbf{A}_w\mathbf{s}_w(\mathbf{A}_w\mathbf{s}_w)^T\}\\ &=\mathbf{A}_w\mathbb{E}\{\mathbf{s}_w\mathbf{s}_w^T\}\mathbf{A}_w^T\\ &=\mathbf{A}_w\mathbf{A}_w^T=\mathbf{I} \end{align}$

$\mathbf{s}_i$ $\mathbf{A}$

Se, dopo la trasformazione, ci sono autovalori vicini allo zero, questi possono essere scartati in modo sicuro in quanto sono solo rumore e ostacoleranno solo la stima a causa del "sovraccarico".

3. Altre pre-elaborazioni

Potrebbero esserci altre fasi di preelaborazione coinvolte in determinate applicazioni specifiche che è impossibile coprire in una risposta. Ad esempio, ho visto alcuni articoli che utilizzano il registro delle serie storiche e alcuni altri che filtrano le serie storiche. Sebbene possa essere adatto per le loro particolari applicazioni / condizioni, i risultati non vengono riportati in tutti i campi.

^†_{Credo che sia possibile usare ICA se al massimo uno dei componenti è gaussiano, anche se al momento non riesco a trovare un riferimento per questo.}

Perché si chiama "sferica"?

$n$ $n$ {-1,1}NormalDistribution[]

inserisci qui la descrizione dell'immagine

Il primo è la densità articolare per due gaussiani non correlati, il secondo in trasformazione e il terzo dopo lo sbiancamento. In pratica sono visibili solo i passaggi 2 e 3.

— Lorem Ipsum
fonte

Wow, mi ci vorrà un po 'per prendere tutto questo, ma grazie è un eufemismo!

— jonsca

Scusa, pensavo di averlo già accettato.

— jonsca,