Spiegazione PSD (densità spettrale di potenza)

Sto cercando di capire come viene calcolato il PSD. Ho cercato in alcuni dei miei libri di testo sull'ingegneria della comunicazione, ma senza risultati. Ho anche cercato online. Wikipedia sembra avere la migliore spiegazione; tuttavia, mi perdo nella parte in cui decidono di creare il CDF (Cumulative Distrubution Function) e quindi per qualche motivo decido di collegarlo alla funzione di autocorrelazione.

Suppongo che ciò che non capisco sia, in che modo l'autocorrelazione ha qualcosa a che fare con il calcolo del PSD? Avrei pensato che il PSD fosse semplicemente la trasformata di Fourier di (dove è la potenza del segnale rispetto al tempo). $P(t)$ $P(t)$

power-spectral-density psd

— user968243
fonte

Come si definisce ?

P (t)

$P(t)$

— Phonon

Non lo definisco davvero come niente. È solo un segnale di potenza. Immagino che se dovessi definirlo, sarebbe ... Immagino che il punto sia che il PSD non è e ha qualcosa a che fare con l'autocorrelazione e non capisco cosa ...

P (t) = v (t) \cdot i (t)

$P(t) = v(t) \cdot i(t)$

F {P (t)}

$\mathcal{F}\{P(t)\}$

— user968243

Non puoi davvero definire un potere del genere per segnali arbitrari. Non ci sono concetti di tensione e corrente. La potenza in questo caso è definita come la potenza di un'onda (elettromagnetica se vuoi). Quindi è , ed è un singolo numero, non una quantità variabile nel tempo.

\frac{1}{T} \int_{0}^{T} x^{2} (t) d t

$\frac{1}{T} \int_0^Tx^2(t)dt$

— Phonon

Leggi il teorema di Wiener-Khinchin . Ti stai rifiutando di capire cosa Phonon ti sta segnalando che il limite che stai calcolando è una costante e quindi la sua trasformata di Fourier è solo un impulso a nel dominio della frequenza. Se questo galleggia sulla tua barca, provaci ma non è la densità spettrale di potenza come tutti gli altri capiscono.

f = 0

$f=0$

— Dilip Sarwate

Ho letto di quel teorema ... E capisco come collega la trasformata di Fourier all'autocorrelazione. E non mi rifiuto di capire cosa ha detto Phonon ... Capisco esattamente cosa ha detto @Phonon. Quello che non capisco è il motivo per cui viene utilizzata la formula di autocorrelazione e non capisco anche perché viene utilizzato il metodo di trasformazione di Fourier (per ottenere il PSD puoi prendere la trasformata di Fourier, prenderne la grandezza, quadrarla ecc.) ... Non ho idea del perché fare ciò darebbe un PSD e non sono stato in grado di trovare una derivazione decente.

— user968243

Risposte:

Hai ragione, PSD ha a che fare con il calcolo della trasformata di Fourier della potenza del segnale e indovina cosa ..... fa. Ma prima diamo un'occhiata alla relazione matematica tra PSD e la funzione di autocorrelazione.

notazioni:
- Trasformata di Fourier: $F [x (t)] = X (ω) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j ω t} d t$ $\mathcal{F}[ x(t)] = X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t}dt$
- (Tempo) Funzione di correlazione automatica: $R (τ) = x (τ) * x (- τ) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) x (t + τ) d t$ $R(\tau) = x(\tau) * x(-\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x(t + \tau)dt$
Dimostriamo che la trasformata di Fourier della funzione di auto-correlazione è effettivamente uguale alla densità spettrale di potenza del nostro segnale stocastico segnale . $x(t)$

F [R (τ)] = \int_{- \infty}^{\infty} R (τ) e^{- j ω τ} d τ

$\mathcal{F}[ R(\tau)]= \int_{-\infty}^{\infty} R(\tau)e^{-j\omega \tau}d\tau$

= \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} x (t) x (t + τ) e^{- j ω τ} d t d τ

$= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x(t + \tau) e^{-j\omega \tau} dtd\tau$

= \int_{- \infty}^{\infty} x (t) \underset{F [x (t + τ)] = X (ω) e^{j ω t}}{\underset{⏟}{\int_{- \infty}^{\infty} x (t + τ) e^{- j ω τ} d τ}} d t

$= \int_{-\infty}^{\infty}x(t) \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty} x(t + \tau) e^{-j\omega \tau} d\tau}_{\mathcal{F}[x(t + \tau) ] = X(\omega)e^{j\omega t}} dt$

= X (ω) \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{j ω t} d t

$= X(\omega) {\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{j\omega t} dt}$

= X (ω) X^{*} (ω) = | X (ω) |^{2}

$= X(\omega)X^*(\omega)= |X(\omega)|^2$

Che cosa significa tutto questo? Nota: questa spiegazione è un po '"confusa". Ma eccola qui

La trasformata di Fourier ci dice le componenti spettrali di un segnale. Nel nostro caso, il segnale è stocastico; Quindi, provare a calcolare i componenti spettrali del segnale sarà inutile perché, per ogni realizzazione del processo casuale, avrai espressioni diverse per . $\mathcal{F}[x(t)]$

E se prendessi il valore atteso della trasformazione di Fourier allora? Questo non funzionerebbe. Prendiamo ad esempio un segnale di media zero.

E {F [x (t)]} = F [E {x (t)}] = 0

$\mathbb{E}\{ \mathcal{F}[x(t)] \} = \mathcal{F}[\mathbb{E}\{ x(t) \}] = 0$

E {F [x^{2} (t)]} = F [\underset{Av. Power of the Signal}{\underset{⏟}{E {x^{2} (t)}}}]

$\mathbb{E}\{ \mathcal{F}[x^2(t)] \} = \mathcal{F}[\underbrace{\mathbb{E}\{ x^2(t) \}}_{\text{Av. Power of the Signal}}]$

$P(t)$

Riferimenti:

[1] Comunicazioni 1, PL. Dragotti, Imperial College di Londra

[2] Rumore bianco e stima, F. Tobar [Rapporto non pubblicato]

— ssk08
fonte

d t

$dt$

d τ

$d\tau$

\infty

$\infty$

\infty

$\infty$

sì, è giusto.

— ssk08,

x (t)

$x(t)$

x^{2} (t)

$x^2(t)$

N

$N$

N

$N$

@Mohammad lo ha riassunto perfettamente.

— ssk08,

Bella derivazione ma penso che tu possa farlo ancora più facilmente

$r(t) = x(t)*x(-t)$

La convoluzione nel dominio del tempo è una moltiplicazione nel dominio della frequenza.

La rotazione temporale nel dominio del tempo è "coniugato complesso" nel dominio della frequenza.

R (ω) = F {r (t)} = F {x (t)} F {x (- t)} = X (ω) X^{*} (ω) = | X (ω) |^{2} = P S D

$R(\omega) = \mathcal{F}\{r(t)\} = \mathcal{F}\{x(t)\}\mathcal{F}\{x(-t)\} = X(\omega) X^*(\omega) = |X(\omega)|^2 = PSD$

— Hilmar
fonte

L'auto-correlazione non è forse la convoluzione del segnale con il suo sé coniugato complesso, con il tempo invertito?

— Jim Clay

Penso che stia supponendo che il segnale sia reale.

— ssk08

@Jim & ssk08: ovviamente entrambi avete ragione. Grazie per aver ripulito le equazioni.

— Hilmar

Spiegazione PSD (densità spettrale di potenza)

P(t)P(t)P(t)

$P(t)$