Qual è la risposta di fase e magnitudo del rumore bianco?

Vorrei creare rumore bianco nel dominio della frequenza, e poi trasformarlo nel dominio del tempo usando Python. Per comprendere il problema, ho semplicemente generato rumore bianco nel dominio del tempo e trasformato in dominio freq:

import scipy.signal as sg
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

e = np.random.normal(0,1,1e3)
E = sg.fft(e)

plt.figure("Bode plot")
plt.subplot(211)
plt.title("Magitude")
plt.plot(abs(E))
plt.subplot(212)
plt.title("Phase")
plt.plot(np.angle(E))
plt.show()

Non guardo affatto come mi aspettavo: Domande:

• Il rumore bianco non dovrebbe avere una risposta magnitudo piatta? (importi uguali per tutte le frequenze)
• Qual è la relazione tra la deviazione standard (1 nel mio esempio) e la grandezza e la fase?

Grazie in anticipo!

Il rumore bianco non dovrebbe avere una risposta magnitudo piatta? (importi uguali per tutte le frequenze)

La risposta magnitudo attesa del rumore bianco è piatta (questo è ciò che JasonR chiama la densità spettrale di potenza). Qualsiasi istanza particolare di una sequenza di rumore bianco non avrà una risposta esattamente piatta (questo è ciò che il commento di JasonR definisce lo spettro di potenza).

In effetti, la trasformata di Fourier del rumore bianco è ... rumore bianco!

Qual è la relazione tra la deviazione standard (1 nel mio esempio) e la grandezza e la fase?

Non ci sarà alcuna relazione tra la deviazione standard e la fase. Per quanto riguarda la grandezza, supponiamo che $n(t)$ sia un rumore bianco stazionario con media zero e deviazione standard $\sigma$ . Quindi l'autocorrelazione (covarianza) è:

$$R_{nn}(\tau) = E[n(t)n(t+\tau)] = \sigma^2\delta(\tau)$$

Quindi la densità spettrale di potenza è solo $\sigma^2$ (anche se per il tempo discreto, ci sarà un ridimensionamento basato sulla durata del segnale).

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Domande dal commento:

1. Quando dici che la trasformata di Fourier è anche rumore bianco, come posso misurare lo std-dev quando la trasformazione è complessa? Parte reale, immaginaria o qualche combinazione?

$n[m]$$\sigma^2$

$$\begin{eqnarray} N[k] &=& \sum_{m=0}^{M-1} n[m] e^{-j2\pi mk/M} \\ &=& \sum_{m=0}^{M-1} n[m] \cos(2\pi mk/M) + j n[m] \sin(2\pi mk/M) \end{eqnarray}$$

e il valore atteso è:

$$\begin{eqnarray} E\left[N[k]\right] &=& E\left[\sum_{m=0}^{M-1} n[m] e^{-j2\pi mk/M} \right]\\ &=& \sum_{m=0}^{M-1} E\left[n[m]\right] e^{-j2\pi mk/M} \\ &=& 0 \end{eqnarray}$$

La varianza della parte reale è data da:

$$\begin{eqnarray} E\left[ (\Re N[k])^2 \right] &=& E \left [ \sum_{m=0}^{M-1} n[m] \cos(2\pi mk/M) \cdot \sum_{p=0}^{M-1} n[p] \cos(2\pi pk/M) \right ]\\ &=& E\left[ \sum_{m=0}^{M-1} \sum_{p=0}^{M-1} n[m]n[p] \delta[n-p] \cos(2\pi mk/M)\cos(2\pi pk/M) \right]\\ &=& \sum_{m=0}^{M-1} E\left[ n[m]^2 \right]\cos^2(2\pi mk/M)\\ &=& \sigma^2\sum_{m=0}^{M-1} \cos^2(2\pi mk/M)\\ &=& \sigma^2 \left( \frac{M}{2} + \frac{\cos(M+1) 2\pi k/M \sin(2\pi Mk/M) }{ 2 \sin (2\pi k/M) } \ \ \ \right)\\ &=& \frac{\sigma^2 M}{2} \end{eqnarray}$$

Credo che la parte immaginaria si comporterà allo stesso modo.

2. Potresti chiarirmi come la durata del segnale si riferisce alla densità spettrale di potenza (per situazioni temporali discrete)

Credo che (sulla base della derivazione sopra), la densità spettrale di potenza (il valore atteso del quadrato del DFT) si ridimensionerà linearmente come la durata.

3. Se la fase non è influenzata dallo std-dev, cosa determina l'ampiezza di 3 gradi e il tipo di distribuzione (sembra essere uniforme piuttosto che normale)

Controlla la tabella a pagina 2 di questo file PDF . dice che l'argomento (fase) dei coefficienti sarà distribuito uniformemente, come affermi. Schermata della tabella inclusa di seguito.