Varianza del rumore gaussiano bianco

Potrebbe sembrare una domanda facile e senza dubbio lo è, ma sto cercando di calcolare la varianza del rumore bianco gaussiano senza alcun risultato.

La densità spettrale di potenza (PSD) del rumore gaussiano bianco additivo (AWGN) è $\frac{N_0}{2}$ mentre l'autocorrelazione è, quindi la varianza è infinita? $\frac{N_0}{2}\delta(\tau)$

noise power-spectral-density random-process

— Mazzy
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Il rumore non è forse la variazione della tensione del rumore? Si potrebbe anche chiedere della varianza (o deviazione standard) della potenza misurata in un intervallo di tempo specifico. Penso che il teorema del limite centrale descriverà la relazione tra la durata del tempo di misurazione e la varianza dei risultati.

Risposte:

Il rumore gaussiano bianco nel caso del tempo continuo non è quello che viene chiamato un processo di secondo ordine (che significa è finito) e quindi, sì, la varianza è infinita. Fortunatamente, non possiamo mai osservare un processo di rumore bianco (che sia gaussiano o no) in natura; è osservabile solo attraverso un qualche tipo di dispositivo, ad esempio un filtro lineare (stabile BIBO) con funzione di trasferimento nel qual caso si ottiene un processo gaussiano stazionario con densità spettrale di potenza e varianza finita $E[X^2(t)]$ $H(f)$ $\frac{N_0}{2}|H(f)|^2$

σ^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{N_{0}}{2} | H (f) |^{2} d f .

$\sigma^2 = \int_{-\infty}^\infty \frac{N_0}{2}|H(f)|^2\,\mathrm df.$

Più di ciò che probabilmente vorresti sapere sul rumore gaussiano bianco si trova nell'Appendice di questa mia conferenza .

— Dilip Sarwate
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La cosa curiosa di questo per me è che il parametro

che viene usato come "varianza" della distribuzione gaussiana di

non è la varianza della sequenza. Come dici tu, è perché

è infinito. Grazie per la chiara spiegazione!

σ^{2}

$\sigma^2$

x (t)

$x(t)$

E [x^{2} (t)]

$E[x^2(t)]$

— Peter K.

@PeterK. C'è una differenza tra le nozioni di rumore gaussiano bianco per tempo discreto e tempo continuo. Se un processo a tempo discreto viene considerato come campioni da un processo a tempo continuo, quindi, considerando che il campionatore è un dispositivo con una larghezza di banda finita, otteniamo una sequenza di variabili casuali gaussiane indipendenti di varianza comune

che è ciò che hai nella tua risposta. Se

σ^{2}

$\sigma^2$

Y [n]

$Y[n]$

dove

è l'AWGN dell'OP, quindi

Y [n] = \int_{(n - 1) T}^{n T} X (t) d t

$Y[n]=\int_{(n-1)T}^{nT}X(t)\,\mathrm dt$

X (t)

$X(t)$

, non

σ_{Y [n]}^{2} = \frac{N_{0}}{2} T

$\sigma_{Y[n]}^2=\frac{N_0}{2}T$

come lo hai (tranne se

\frac{N_{0}}{2}

$\frac{N_0}{2}$

T = 1

$T=1$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate Ho letto la tua interessante appendice. Ma tu dici "Uno non dovrebbe, tuttavia, dedurre che le variabili casuali nel processo WGN siano esse stesse variabili casuali gaussiane". Non l'ho capito appieno. Se le variabili casuali non sono gaussiane (e questo mi sembra ragionevole poiché hanno una varianza infinita), perché il processo si chiama gaussiano?

— Surfista sull'autunno

f_{X (t)} (x)

$f_{X(t)}(x)$

{X (t) : - \infty < t < \infty}

$\{X(t)\colon -\infty < t < \infty\}$

0

$0$

x

$x$

X (t)

$X(t)$

{X (t) : - \infty < t < \infty}

$\{X(t)\colon -\infty < t < \infty\}$

σ \to \infty

$\sigma \to \infty$

σ \to 0

$\sigma \to 0$

$x[t]$ $\sigma^2$ $x$

\begin{matrix} R_{x x} [τ] & = & E [x [t] x [t + τ]] \\ = & {\begin{matrix} E [x [t]^{2}], i f τ = 0 \\ 0, o t h e r w i s e \end{matrix} \\ = & σ^{2} δ [τ] \end{matrix}

$\begin{array} RR_{xx}[\tau] &=& E\left[ x[t] x[t+\tau] \right]\\ &=& \left \{ \begin{array} EE \left[ x[t]^2 \right], {\rm if\ }\tau=0 \\ 0, {\rm otherwise} \end{array} \right. \\ &=& \sigma^2 \delta[\tau] \end{array}$

δ [τ]

$\delta[\tau]$

$\sigma^2 = \frac{N_0}{2}$

— Peter K.
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Sì, lo è: a meno che non si tenga conto del fatto che è difficile trovare un potere infinito in questi tempi post big bang. In realtà tutti i processi di rumore bianco finiscono con un'implementazione fisica che ha una capacità e quindi limita l'ampiezza di banda effettiva. Considera gli argomenti (ragionevoli) che portano al rumore di Johnson R: produrrebbero energia infinita; tranne che ci sono sempre limiti di larghezza di banda nell'implementazione. Una situazione simile si applica all'estremità opposta: rumore 1 / F. Sì, alcuni processi si adattano molto bene al rumore 1 / f per molto tempo; Li ho misurati. Ma alla fine sei vincolato da leggi fisiche.

— rrogers
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