Condizioni per la matrice di precodifica per preservare la simmetria coniugata complessa sul vettore DFT

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Supponiamo che ci sia un vettore DFT con lunghezza N, che presenta una simmetria coniugata complessa attorno al suo punto medio, cioè , e così via. e sono rispettivamente la frequenza DC e Nyquist, quindi sono numeri reali. Gli elementi rimanenti sono complessi. $\mathbf{X}$ $X(1) = X(N-1)^*$ $X(2) = X(N - 2)^*$ $X(0)$ $X(N/2)$

Supponiamo ora che ci sia una matrice , con dimensione , che moltiplica il vettore X. $\mathbf{T}$ $N \times N$

\begin{aligned} Y = T X \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{Y} = \mathbf{T}\mathbf{X} \end{align}$

La domanda è:

In quali condizioni, per la matrice , viene conservata la complessa simmetria coniugata attorno al punto medio del vettore risultante ? $\mathbf{T}$ $\mathbf{Y}$

La motivazione di questa domanda sta provando a trovare una matrice precodificatore che si traduce in un simbolo precodificato (pre-equalizzato) il cui IFFT è reale. $\mathbf{T}$ $\mathbf{Y}$

MODIFICARE:

Grazie @MattL. e @niaren. La difficoltà di questa domanda è trovare le condizioni necessarie. La risposta di Matt è davvero sufficiente. È inoltre sufficiente apportare le seguenti modifiche:

La prima riga e la prima colonna non devono essere zero. Invece, potrebbero essere diversi da zero, a condizione che i suoi valori presentino una simmetria coniugata complessa attorno al punto medio, il suo primo valore sia reale e il suo valore sia reale, proprio come il simbolo. Lo stesso si potrebbe affermare per il colonna -esimo, il fila -esimo, e la diagonale principale. $(N/2+1)$ $(N/2+1)$ $(N/2+1)$

In secondo luogo, la stessa corrispondenza tra la matrice nell'angolo in alto a sinistra e nell'angolo in basso a destra potrebbe essere fatta tra l'angolo in alto a destra e l'angolo in basso a sinistra, cioè scegliere un matrice a partire da a , capovolgere da sinistra a destra, capovolgere e prendere il coniugato, quindi posizionarlo nell'angolo in basso a sinistra. Su MATLAB, sarebbe: $(N/2 -1)\times(N/2-1)$ $t_{2,N/2 + 2}$ $t_{N/2,N}$

T(N/2+2:N,2:N/2) = conj(fliplr(flipud(Tisi(2:(N/2),N/2+2:N))))

Questa struttura è simile alla struttura della matrice DFT. Sarebbe una condizione necessaria?

EDIT (2):

Il codice seguente implementa un operatore così valido per qualsiasi matrice valore reale : $N \times N$ $\mathbf{A}$

N = 8;  
A = rand(N,N); %must be real-valued  
w = exp(-1j*2*pi/N); % twiddle factor  
W = w.^(repmat(0:N-1,N,1).*repmat(0:N-1,N,1).'); % DFT matrix  
T = W*A*W'

EDIT (3):

È anche interessante notare che il presenta anche le condizioni sufficienti. Questo deriva dal fatto che: $\mathbf{T}^{-1}$

doveè la matrice DFT.

\begin{aligned} T^{- 1} & = {(W A W^{H})}^{- 1} \\ = {(W^{H})}^{- 1} A^{- 1} W^{- 1} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{T}^{-1} &= \mathbf{\left(W A W^{H}\right)}^{-1}\\ &= \mathbf{\left(W^{H}\right)}^{-1} \mathbf{A}^{-1} \mathbf{W}^{-1} \end{align}$

W

$\mathbf{W}$

Da . Questa equazione diventa: $\mathbf{W^{H}} = N\mathbf{W}^{-1}$

\begin{aligned} T^{- 1} & = {(N W^{- 1})}^{- 1} A^{- 1} \frac{1}{N} W^{H} \\ = W A^{- 1} W^{H} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{T}^{-1} &= \left(N\mathbf{W}^{-1}\right)^{-1} \mathbf{A}^{-1} \frac{1}{N}\mathbf{W^{H}}\\ &= \mathbf{W} \mathbf{A}^{-1} \mathbf{W^{H}} \end{align}$

$\mathbf{A}^{-1}$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{T}^{-1}$

dft equalization linear-algebra

— igorauad
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T

$\mathbf{T}$

Y

$\mathbf{Y}$

Certo, sono d'accordo con quello.

— igorauad,

1

$\bf{T}$ $a_{N-n+1,N-m+1} = a^*_{n,m}$ $N-n+1$ $\bf{T}$ $N=4$

$T_4 = \left[ \begin{smallmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24} \\ a^*_{24}&a^*_{23}&a^*_{22}&a^*_{21} \\ a^*_{14}&a^*_{13}&a^*_{12}&a^*_{11}\end{smallmatrix} \right]$

Sono sicuro che qualcuno troverà una risposta migliore e più precisa.

— niaren
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Y

$\mathbf{Y}$

T

$\mathbf{T}$

X

$\mathbf{X}$

1

L'ho lasciato come esercizio all'OP per riempire quelle due file nella tosse . Ma non vedo come giungi alla conclusione che funzionerà solo una matrice diagonale (senza dire che ti sbagli).

— niaren,

Potrei davvero sbagliarmi. Quando avrò più tempo ci penserò di nuovo ... Mettiamola così: una matrice diagonale (con simmetria coniugata) funzionerà comunque.

— Matt L.,

-1

$\mathbf{T}$ $\mathbf{X}$

EDIT: OK, mi sono sbagliato. La diagonale va bene, ma non è necessaria. La matrice deve avere la seguente struttura generale: gli elementi et devono essere valorizzati (corrispondono a DC e Nyquist). A parte $\mathbf{T}$ $t_{11}$ $t_{N/2+1,N/2+1}$ $t_{11}$ $t_{22}$ $t_{N/2,N/2}$ $(N/2-1)\times (N/2-1)$ $\mathbf{T}$ $\mathbf{T}$

— Matt L.
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