Come sono state originariamente concepite le finestre?

Sono a conoscenza dei tipi comuni di finestre (Hamming, Hanning, Kaiser, Tukey, ecc. Ecc.). Tuttavia, mentre molti libri li descrivono, quasi nessuno mi dice esattamente come sono stati derivati.

Cosa c'è di così santo nella finestra del martello? Che mi dici dell'impiccagione? Capisco che giocano tutti sul rapporto tra l'attenuazione laterale e la larghezza del mainlobe, ma come sono stati derivati ​​esattamente?

La motivazione della mia domanda è perché sto cercando di capire se si possono progettare le proprie finestre, che giocano anche sulla larghezza del lobo principale e sull'energia laterale.

Questa è solo una risposta parziale, ma c'è una lezione online in cui Hamming parla di come è arrivato alla sua omonima finestra. A partire da circa 15:15 fornisce il contesto completo.

Con una storia abbastanza divertente, attribuisce a John Tukey l' invenzione della teoria delle finestre (per l'analisi dello spettro). Tuttavia, introduce l'intero argomento nel contesto dell'utilizzo dei fattori sigma di Lanczos per ridurre il fenomeno di Gibbs . Inoltre, in The Art of Doing Science and Engineering (basato sulle stesse lezioni), descrive come la sua finestra sia una variazione della finestra di Hann , che sostiene sia stata usata da von Hann in economia (molto prima della sua applicazione nell'elaborazione del segnale ). Ciò suggerisce che la storia risale molto più indietro, a seconda di come si desidera definirla.

Il libro in cui Tukey ha chiamato per la prima volta la finestra di Hamming è La misurazione degli spettri di potenza dal punto di vista dell'ingegneria delle comunicazioni . Data l'affermazione di Hamming secondo cui Tukey ha inventato la teoria delle finestre, sarebbe probabilmente un buon punto di partenza per una più profonda comprensione di come progettarne di nuove. Penso che il libro sia solo una ristampa della Parte I e della Parte II del suo articolo sulla rivista tecnica Bell System, quindi è disponibile online.

Ecco un'altra risposta parziale, principalmente sulla progettazione di finestre personalizzate. Mi sono inventato questo mentre facevo qualcosa che (come so ora ma non allora) è chiamato "windowing nel dominio delle frequenze". Quindi, dopo aver letto alcuni documenti originali sulle finestre, ho pensato che fosse probabilmente il modo in cui alcune finestre sono state concepite in primo luogo, ma non ho alcuna vera conoscenza di base.

Inizia con una finestra rettangolare e osserva la sua trasformata di Fourier, la funzione sinc:

Ora, la scala e (frequenza-) ne spostano due in modo che i lobi laterali tendano a cancellarsi l'un l'altro quando vengono sommati:

(Risultato in verde; scusate la cattiva qualità e la leggenda inutile.)

Come puoi vedere, i lobi laterali non si riducono solo in generale, ma rotolano molto più rapidamente.

Con "windowing nel dominio della frequenza", lo spostamento e il ridimensionamento sono strettamente correlati a ciò che effettivamente accade nella pratica. Ma probabilmente sei più interessato a una rappresentazione nel dominio del tempo, che è facile da ottenere applicando le formule appropriate per gli spostamenti di frequenza. Semplifica a .$\cos(\pi t)$

Ripeti questo processo e otterrai un roll-off sempre migliore, a costo di un lobo principale più ampio:

Questo semplifica a nel dominio del tempo, che è precisamente una finestra di Hann. In generale, ripetendo questo volte si ottiene . è un caso speciale di una finestra di Blackman e tutti persino appartengono alla famiglia Blackman-Harris. n ( cos ( π t ) ) n n = 4 $(\cos(\pi t))^2$$n$$(\cos(\pi t))^n$$n=4$$n$

Tra le finestre Blackman-Harris, queste producono il roll-off del lobo laterale più veloce. (Ho iniziato a scrivere una prova di questo, ma non l'ho nemmeno finito perché il modo in cui calcolare il roll-off e altri parametri sembra essere una conoscenza comune tra gli esperti.)

Se vuoi ottimizzare qualcosa di diverso dal roll-off, puoi iniziare con una finestra che ha un roll-off sufficiente, quindi fare qualcosa di simile a quanto sopra, ma ridimensionare e spostare in modo diverso (di solito usando tre termini anziché due) . Ciò manterrà il roll-off esattamente lo stesso, ma consente ad esempio di ridurre i primi lobi laterali.

Spero che sia di aiuto. Divertiti.

Le finestre più conosciute sono state progettate in modo più o meno ad-hoc, basandosi su una nozione di scorrevolezza nel dominio del tempo. Per quanto ne so ci sono due finestre che sono ottimali in un certo senso: la finestra di Chebyshev che minimizza il livello massimo di sidelobe (non energia!) E la finestra prolato-sferoidale, che massimizza il rapporto di energia tra mainlobe e sidelobes. C'è un documento interessante sul design delle finestre nel dominio della frequenza. Discute un algoritmo che minimizza l'energia del sidelobe soggetta a vincoli sul livello del sidelobe massimo, cioè è un mix tra Chebyshev e finestra prole-sferoidale. Questo è il documento: una nuova finestra ottimale di JW Adams.