Campionamento della funzione Dirac

9

Vorrei porre una domanda teorica sulla funzione Dirac. La trasformata di Fourier della funzione Dirac è il valore 1 (DC) per ogni frequenza. Se consideriamo il teorema del campionamento, dobbiamo trovare una frequenza massima nel segnale , in modo che possiamo campionare con . Ma come possiamo vedere dalla sua trasformata di Fourier, la funzione Dirac contiene ogni frequenza, quindi non possiamo trovare un appropriato . La mia domanda è, da un punto di vista teorico, è possibile campionare la funzione Dirac? $\ f_{max}$ $\ f_s \ge \ 2f_{max}$ $f_s$

Modifica: grazie per le risposte utili ragazzi!

sampling

— George Tseres
fonte

1

Nella terra digitale la sequenza x [n] = (1, n = 0) (0, altrimenti) fa la maggior parte dei lavori che la distribuzione dirac fa nel mondo analogico. È la funzione base per la convoluzione, ha una risposta in frequenza piatta ed è la risposta all'impulso di un "filo". Questa è in realtà una cosa più semplice in digitale

— Hilmar,

personalmente, penso che una risposta più concisa sia "No, un impulso di dirac, $\delta(t)$ , non può essere campionato a $t=0$ perché non vi è alcun valore che la funzione (o distribuzione) assume a $t=0$ ". non esiste una funzione delta diretta nel mondo fisico, solo approssimazioni ad esso. quindi non c'è niente da campionare.

— Robert Bristow-Johnson,

7

È possibile campionare qualsiasi segnale , indipendentemente dal fatto che il teorema di campionamento sia valido o meno. Il teorema di campionamento ti dice che, se la frequenza di campionamento è sufficiente, i campioni rappresentano il segnale originale completo.

I segnali con discontinuità o, peggio ancora, distribuzioni come , non sono limitati dalla banda, quindi l'ipotesi del teorema del campionamento non sarà mai valida. $\delta(t)$

Si noti inoltre che la solita dimostrazione del teorema del campionamento comporta la moltiplicazione del segnale per un treno di impulsi. Credo che questo escluda del tutto il fatto di essere distribuzioni, perché i prodotti delle distribuzioni non sono ben definiti .

In pratica, immagina sampling at . Questo esempio ha un valore indefinito. $\delta(t)$ $t=0$

— Juancho
fonte

"Qualsiasi segnale può essere campionato" - beh, un algoritmo di campionamento può essere applicato a qualsiasi segnale , sì, ma in realtà chiamare questo processo "campionamento" potrebbe, a seconda del contesto, affermare già che ti aspetti di essere in grado di ricostruire il segnale dal risultato, cioè che sono soddisfatte le condizioni preliminari per il teorema di campionamento.

— lasciato circa

8

Sono completamente d'accordo con la risposta di Juancho. Vorrei solo aggiungere alcune cose. Penso che il problema principale sia l'incomprensione che diventa evidente nell'ultima frase della domanda: "... è possibile campionare la funzione Dirac?" L'impulso di Dirac NON è una funzione ordinaria con valori definiti per ogni , ma è una distribuzione (anche se viene spesso chiamata "funzione di Dirac"). Non si dovrebbe quindi provare a "valutarlo" (o campionarlo!). Ciò che è importante riguardo all'impulso di Dirac sono le sue proprietà integrali: $t$

\int_{- \infty}^{\infty} δ (t) d t = 1

$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt = 1$ e

\int_{- \infty}^{\infty} δ (t - t_{0}) f (t) d t = f (t_{0})

$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-t_0)f(t)dt = f(t_0)$

Come già sottolineato da Juancho, il quadrato di un impulso di Dirac non è definito. Quindi, se dovessi provare un impulso di Dirac, otterrai il risultato indefinito $\delta^2(t)$

\underset{n}{Σ} δ (t - n T) δ (t) = δ^{2} (t)

$\sum_n\delta(t-nT)\delta(t)=\delta^2(t)$

Gli impulsi di Dirac sono uno strumento utile per analizzare i sistemi lineari invarianti di tempo, ma devono essere trattati con cura perché i tipi comuni di elaborazione eseguiti su segnali ordinari (come il campionamento) possono portare a risultati indefiniti e insignificanti quando applicati agli impulsi di Dirac.

— Matt L.
fonte

2

Le informazioni trasportate da un Dirac sono la sua posizione e intensità. Vetterli et al. mostra come è possibile campionare un segnale dato dalla somma di N diracs:

$x(t)=\sum_{i=0}^{N-1}r_i\delta(t-t_i)$

Campionare in questo contesto significa recuperare e per . In breve, ciò avviene mediante il filtro passa basso e utilizzando tecniche di stima spettrale standard. Per maggiori dettagli vedi: $x(t)$ $r_i$ $t_i$ $i=0,\ldots,N-1$ $x(t)$

Blu, Thierry, et al. "Campionamento scarso delle innovazioni del segnale." Signal Processing Magazine, IEEE 25.2 (2008): 31-40.

— Arrigo
fonte