Come i poli sono correlati alla risposta in frequenza

Di recente sono caduto in errore , considerando il polo s = 1 in quanto vi è una risposta infinita alla frequenza 1. Tuttavia, la risposta era solo 1. Ora, puoi derivare la risposta in frequenza, dati i poli?

In secondo luogo, la teoria afferma che un sistema è stabile quando i poli si trovano sul piano s sinistro e, quindi, si deteriorano nel tempo. Ma aspetta. "Polo" significa la risposta infinita - la crescita nel tempo?

Infine, è la domanda giusta in DSP? IMO, D sta per digitale mentre s-domain è analogico. Non trovo i tag di trasformazione s-plane o Laplace per etichettare il mio post.

aggiornamento Grazie per le risposte. Sembra che ce l'abbia fatta tranne una cosa minore ma fondamentale: la relazione tra poli (e zero) e frequenza. Fondamentalmente, perché gli autovalori (o, come si chiama l' operatore / variabile $s$ ) sono correlati con la frequenza? Dovrebbe essere in qualche modo correlato alla crescita esponenziale e alla trasformazione di Laplace. Capisco perfettamente che i poli siano autovalori (soprattutto per le ricorrenze discrete). Ma come si collega questo con la frequenza?

Penso che ci siano in realtà 3 domande nella tua domanda:

Q1: Posso derivare la risposta in frequenza dati i poli di un sistema (invariante nel tempo lineare)?

Sì, puoi, fino a una costante. Se $s_{\infty,i}$ , $i=1,\ldots,N,$ sono i poli della funzione di trasferimento, è possibile scrivere la funzione di trasferimento come

$$H(s)=\frac{k}{(s-s_{\infty,1})(s-s_{\infty,2})\ldots (s-s_{\infty,N})}\tag{1}$$

Si noti che $s$ è una variabile complessa $s=\sigma+j\omega$ e la variabile di frequenza $\omega$ corrisponde all'asse immaginario del piano $s$ complesso . Ora dobbiamo ottenere la risposta in frequenza dalla funzione di trasferimento. Per i sistemi stabili questo può essere fatto semplicemente valutando la funzione di trasferimento $H(s)$ per $s=j\omega$ . Quindi sostituisci $s$ con $j\omega$ in (1) e il gioco è fatto. Si noti, tuttavia, che ciò è vero solo per i sistemi stabili (cioè se la regione di convergenza di $H(s)$ include l'asse$j\omega$ ).

Q2: Come può un sistema stabile avere i poli?

Come già sapete, per i sistemi causali e stabili, tutti i poli devono trovarsi nel semipiano sinistro del piano $s$ complesso . In effetti, il valore della funzione di trasferimento $H(s)$ andrà all'infinito su un polo $s=s_{\infty}$ , ma la risposta in frequenza sarà OK, perché se tutti i poli sono nel semipiano sinistro, non ci sono poli sul $j\omega$ -asse (o alla sua destra). Se lo guardi nel dominio del tempo, ogni polo (semplice) ha un contributo di $e^{s_{\infty}t}$ alla risposta all'impulso del sistema. Se il polo si trova nel semipiano sinistro, significa che $s_{\infty}=\sigma_{\infty}+j\omega_{\infty}$ ha una parte reale negativa$\sigma_{\infty}<0$ . Così

$$e^{s_{\infty}t}=e^{\sigma_{\infty}}e^{j\omega_{\infty}}$$

è una funzione smorzata esponenzialmente e non cresce ma decade, poiché $\sigma_{\infty}<0$ .

Q3: questa domanda appartiene qui?

Altri membri della comunità devono giudicare se questa domanda appartiene qui. Penso che lo faccia. Ovviamente non è direttamente correlato al DSP puro, ma gli ingegneri DSP molto spesso devono anche occuparsi di segnali e sistemi analogici prima della conversione AD, quindi conoscono anche la teoria dei sistemi continua. In secondo luogo, quasi tutte le persone DSP (almeno quelle con formazione tradizionale) hanno avuto una certa esposizione ai segnali generali e alla teoria dei sistemi, compresi i sistemi a tempo continuo e a tempo discreto.

A proposito, per i sistemi a tempo discreto ottieni la $\mathcal{Z}$ -transform invece della trasformata di Laplace, e la tua variabile complessa è ora chiamata $z$ invece di $s$ . La variabile $D$ che hai menzionato è definita come $D=z^{-1}$ ed è utilizzata principalmente nella letteratura di codifica. Per definizione, indica un elemento di ritardo, quindi $D$ sta per "ritardo" (non "digitale").

Se si sa che il semipiano sinistro del piano $s$ complesso mappa sulla regione all'interno del cerchio unitario del piano $z$ complesso (cioè $|z|<1$ ) e l' asse $j\omega$ mappa sul cerchio unitario $|z|=1$ , quindi quasi tutto ciò che sai su uno dei due domini verrà facilmente trasferito all'altro dominio.

Una cosa che mi ha davvero aiutato a capire i poli e gli zeri è visualizzarli come superfici di ampiezza. Molti di questi grafici sono disponibili in A Filter Primer . Alcune note:

• Probabilmente è più facile imparare prima il piano S analogico, e dopo averlo compreso, quindi imparare come funziona il piano Z digitale.
• Uno zero è un punto in cui il guadagno della funzione di trasferimento è zero.
• Un polo è un punto in cui il guadagno della funzione di trasferimento è infinito.
• Spesso ci sono zeri o poli all'infinito, che non sono sempre inclusi nelle descrizioni della funzione di trasferimento, ma sono necessari per capirlo.
• La risposta in frequenza sul piano S avviene solo lungo l'asse jω.
  • L'origine è 0 Hz o CC e la frequenza di taglio dei filtri aumenta radicalmente rispetto all'origine. Mettere un polo in qualsiasi punto lungo un cerchio ad una certa distanza dall'origine produrrà la stessa frequenza di taglio.
  • Per aumentare la frequenza di taglio di un filtro, spostare i poli radialmente verso l'esterno.
  • Per aumentare la Q di un filtro biquad, spostare i poli lungo il cerchio verso l'asse jω, che mantiene costante la frequenza di taglio, ma aumenta l'effetto che il polo ha sulla risposta in frequenza, rendendolo più "picco".
  • 
• Se appare uno zero sull'asse jω, la risposta in frequenza scenderà a zero a quella frequenza; se si immette un'onda sinusoidale a quella frequenza, l'uscita sarà 0.
• Se un polo appare sull'asse jω, la risposta all'impulso è un oscillatore; qualsiasi impulso lo farà suonare per sempre a quella frequenza. Gli impulsi hanno energia finita, ma la risposta del filtro ha energia infinita, quindi ha un guadagno infinito.

Un semplice esempio è un integratore H (s) = 1 / s:

• Questa funzione è uguale a 0 quando s è infinito, quindi ha uno zero all'infinito.
• Questa funzione è uguale a infinito quando s è zero, quindi ha un polo a zero.

In altre parole, ha un guadagno infinito a CC (la risposta al gradino di un integratore è in costante aumento) e il guadagno diminuisce all'aumentare della frequenza:

Allontanando il polo dall'origine, lungo l'asse immaginario nella mano sinistra del piano S, il guadagno a 0 Hz sull'asse jw di nuovo finito, e ora hai un filtro passa-basso:

I won't tell the full mapping from poles(1)/zeroes(0) to the frequency response but I think I can explain the connection between frequency and zero/infinite response, why do you have infinite/zero response at $e^{-jw}=z_\text{zero/pole},$ i.e. what $e^{-jw}$ has to do with $z$.

$$y_n+a_1y_{n-1}+a_2y_{n-2}+\cdots = b_0 x_n + b_1x_{n-1}+b_2x_{n-2}+\cdots,$$ which can be solved in z-from as $$Y(z) = {(b_0 + b_1 z + b_2 z^2+\cdots)\over(1+a_1z+a_2z^2+\cdots)}X(z) = H(z)X(z) = {(1-z_0z)(1-z_1z)\cdots \over(1-p_0z)(1-p_1z)\cdots}X(z).$$

In the end, the series of binomial products $(1-z_0 z)\cdots{1\over 1-p_0 z}$ can be considered as a series of systems, where first output, is the input for another.

I would like to analyze the effect of single pole and zero. Let's single out the first zero, considering it the transfer function so that the rest of $H(z)X(z)$ is the input signal, $Y(z)=(1-z_0z)Χ(z),$ which corresponds to some $y_n = b_0x_n + b_1x_{n-1}.$ Let's take $b_0=b_1=1$ for simplicity. I mean that $y_n = x_n + x_{n-1}$.

What we want to determine the effect of the system H(z) upon harmonic signal. That is, the input is going to be test signal

$$x_n = e^{jwn}\overset{z}{\leftrightarrow} 1 + e^{jw}z + e^{2jw} z^2 + \cdots = 1/(1-e^{jw})= X(z).$$ The response is going to be $$y_n = x_n + x_{n-1}|_{x_n = e^{jwn}} = e^{jwn} + e^{jw(n-1)} = e^{jwn}(1+e^{-jw})$$ that is, $1+e^{-jw}$ is the transfer function or $Y(z) = {(1+z)\over (1-e^{jw}z)} =(1+z)X(z)$.

Please note that $1+z$ basically says that output is sum of input signal plus shifted signal, since single $z$ stands for single clock delay in time domain.

Now, as explained in, $H(jw) = 1 + e^{-jw} = e^{-jw/2}(e^{jw/2}+e^{-jw/2}) =e^{-jw/2}2\cos(w/2)$. Cosine makes it to behave like low-pass filter

$$\begin{cases} w=0 & \Rightarrow &H(j0) = 1\cdot 2 \cos (0) = 2\\ w=\pi & \Rightarrow & H(j\pi) = e^{j\pi/2}2\cos(\pi/2) = 0 \end{cases}$$

It is also a good lesson that you get $2 cos \alpha = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha}$ because you will supply the real signals rather than complex imaginary ones in real life.

LTI with impulse response = {1,-1} is $y_n=x_n -x_n|_{x_n=e^{jwn}} =e^{jwn}(1-e^{-jw})$ has transfer function of $H(jw) = (1-e^{-jw}) = e^{-jw/2}(e^{jw/2}-e^{-jw/2})=e^{-jw}2\sin(w/2)$, which has zero at $w=0$ since $sin(0)=0$ but it can be found from the frequency response

$$H(jw)=1-e^{-jw} = 0 \Rightarrow e^{-jw} = 1 = e^0 \Rightarrow w = 0.$$

After the textbooks, I can spot the surprising coincidence between transfer function $H(z) = 1\pm z$ and frequency response $H(jw)=1\pm e^{-jw}$. That is, z somehow corresponds to $e^{-jw}$, which is important for zero/pole analysis. I read it like

sine z-factor stands for a clock shift and $y_n = x_n \pm x_{n-1}=0$ means that next sample is $\pm$ previous one to get zero response, we need to have $1\pm z=0$ in front of X(z). But, the frequency domain basis functions $e^{jwn}$ evolve by multiplying current value $e^{jw(n-1)}$ with $e^{jw}$ every clock. Therefore, we have $e^{jwn}(1 \pm e^{-jw}) =0$ as condition for constant zero output. The latter $1\pm e^{-jw}$ matches perfectly with zero transfer function $1\pm z=0$.

In general, single-zero LTI is given by $y_n = b_0 x_n + b_1 x_{n-1}$ or

$$Y(z) = (b_0 + b_1 z)X(z) = (b_0+ b_1z)(1+x_1z+x_2z^2+\cdots) = b_0 + (b_0 x_1 + b_1 x_0)z + (b_0 x_2 + b_1 x_1)z^2 + \cdots.$$ When $b_0+b_1 z = 0$, i.e. when $z=-b_0/b_1,$ whereas frequency response is, $$y_n(x_n = e^{jwn}) = b_0 e^{jwn} + b_1 e^{jw(n-1)} = e^{jwn}(b_0+b_1 e^{-jw})= e^{jwn}b_0(1-z_0 e^{-jw}),$$

which goes to zero when $1-z_0 e^{-jw} = 0$ or $e^{-jw} = 1/z_0$, which matches the computation for $z$ if $z=e^{-jw}$. The only thing that bothers me is that fixed-amplitude complex exponential is not enough for the frequency (harmonic) basis. You cannot obtain arbitrary ratio $1/z_0= e^{-jw}$ by choosing appropriate frequency $w$, a decaying harmonic signal is needed for that. That is weird because I have heard that any signal can be represented as sum of (constant amplitude) sines and cosines. But, anyway, we see that system zero stands for relationship between adjacent samples of input signal. When they are right, the output is identically 0 and we can choose such such frequency $w$ so that zero $z = 1/z_0 = e^{-jw}.$

Now, what about the poles? Let's single out a single pole $a$. The system has a from of $y_n = a y_{n-1} + (x_n + x_{n-1} + \cdots)$, under assumption $y_0 = 0$, has z-transform of $Y(z) = X(z)/(1-az)$.

The feedback $a$ is equivalent to infinite impulse response ${1,a,a^2,\ldots} \overset{z}{\leftrightarrow} 1 + az + a^2z^2 + \cdots = 1/(1-az)$. It says that response is infinite when $z=1/a$. What does it mean if we apply the test signal

$$x_n=e^{jwn}\overset{z}{\leftrightarrow} X(z) = 1+e^{jw}z+e^{2jw}z^2+\cdots = 1/(1-e^{jw}z)$$ to our system? We'll get $Y(z)={1\over 1-az}{1\over 1-e^{jw}z},$ or $$y_n = e^{jwn} + ae^{jw(n-1)} +a^2e^{jw(n-2)} +\cdots = e^{jwn}(1+ae^{-jw} + a^2e^{-2jw} + \cdots) ={e^{jwn}\over 1-ae^{-jw}}.$$ That is, frequency response is $1/(1-ae^{-jw}),$ which goes to infinity when $e^{-jw}=1/a,$ the same as $z_{pole}$ above, $e^{-jw}=z_{pole}=1/a$. But again, you can not always arrive at the pole $1/a$ adjusting the frequency $w$ alone. The frequency basis functions must be decaying amplitude in general and look like $(ke^{jw})^n$.

That is, zeroes or poles of the transfer function $H(z)$ happen to match the zeroes and poles of frequency response $H(jw)$, which is really amazing. I noticed that this is related to the relation between adjacent samples, $e^{jwn}/e^{jw(n-1)} = e^{jw} = 1/z_{zero}$ in case of zeroes. The fact that $e^{jwn}$ scales exponentially over time, along with the system with feedback $a$, also seems to be the key for matching between $e^{jw}$ and $z_{poles}$. It also seems important that you cannot simply look for the appropriate frequency of $e^{jwn}$, the basis function must also have adjustable amplitude factor $k^n$.

I would be happy if anybody could explain the same more condensely or more crisply.