Non sono sicuro di cosa stai cercando qui. Il rumore è in genere descritto attraverso la sua densità spettrale di potenza o equivalentemente la sua funzione di autocorrelazione; la funzione di autocorrelazione di un processo casuale e il suo PSD sono una coppia di trasformate di Fourier. Il rumore bianco, ad esempio, ha un'auto-correlazione impulsiva; questo si trasforma in uno spettro di potenza piatta nel dominio di Fourier.
Il tuo esempio (anche se in qualche modo poco pratico) è analogo a un ricevitore di comunicazione che osserva un rumore bianco modulato dal portatore con una frequenza portante di . Il ricevitore di esempio è abbastanza fortunato, poiché ha un oscillatore che è coerente con quello del trasmettitore; non esiste alcun sfasamento tra i sinusoidi generati sul modulatore e sul demodulatore, consentendo la possibilità di una "perfetta" conversione verso la banda base. Questo non è poco pratico da solo; esistono numerose strutture per ricevitori di comunicazioni coerenti. Tuttavia, il rumore è tipicamente modellato come un elemento aggiuntivo del canale di comunicazione che non è correlato al segnale modulato che il ricevitore cerca di recuperare;2ω
Detto questo, tuttavia, uno sguardo alla matematica dietro il tuo esempio può spiegare la tua osservazione. Al fine di ottenere i risultati descritti (almeno nella domanda originale), il modulatore e il demodulatore hanno oscillatori che funzionano con una frequenza e una fase di riferimento identiche. Il modulatore emette quanto segue:
n ( t )x ( t )∼ N( 0 , σ2)= n ( t ) sin( 2 ω t )
Il ricevitore genera i segnali I e Q convertiti verso il basso come segue:
io( t )Q ( t )= x ( t ) sin( 2 ω t ) = n ( t ) sin2( 2 ω t )=x(t)cos(2ωt)=n(t)sin(2ωt)cos(2ωt)
Alcune identità trigonometriche possono aiutare ad arricchire e ancora:Q ( t )I(t)Q(t)
sin2(2ωt)sin(2ωt)cos(2ωt)=1−cos(4ωt)2=sin(4ωt)+sin(0)2=12sin(4ωt)
Ora possiamo riscrivere la coppia di segnali convertiti verso il basso come:
I(t)Q(t)=n(t)1−cos(4ωt)2=12n(t)sin(4ωt)
Il rumore in ingresso è a media zero, quindi anche e sono a media zero. Ciò significa che le loro variazioni sono:Q ( t )I(t)Q (t)
σ2I( t )σ2Q ( t )= E (I2( t ) ) = E (n2( t ) [ 1 -cos( 4 ω t )2]2) = E (n2( t ) ) E ( [ 1 -cos( 4 ω t )2]2)= E (Q2( t ) ) = E (n2( t )sin2( 4 ω t ) ) = E (n2( t ) ) E (sin2( 4 ω t ) )
Hai notato il rapporto tra le varianze di e nella tua domanda. Può essere semplificato per:io( t )Q ( t )
σ2I(t)σ2Q(t)=E([1−cos(4ωt)2]2)E(sin2(4ωt))
Le aspettative sono prese sulla variabile temporale processo casuale . Poiché le funzioni sono deterministiche e periodiche, ciò equivale in realtà al valore medio quadrato di ciascuna funzione sinusoidale in un periodo; per i valori mostrati qui, ottieni un rapporto di , come hai notato. Il fatto che si ottiene più potenza del rumore nel canale I è un artefatto del rumore che viene modulato in modo coerente (cioè in fase) con il riferimento sinusoidale del demodulatore. Sulla base della matematica sottostante, questo risultato è prevedibile. Come ho affermato prima, tuttavia, questo tipo di situazione non è tipico.n(t)t3–√
Anche se non lo hai chiesto direttamente, volevo notare che questo tipo di operazione (modulazione da parte di un corriere sinusoidale seguito dalla demodulazione di una riproduzione identica o quasi identica del corriere) è un elemento fondamentale nei sistemi di comunicazione. Un vero ricevitore di comunicazione, tuttavia, includerebbe un ulteriore passaggio dopo la demodulazione del vettore: un filtro passa-basso per rimuovere i componenti del segnale I e Q alla frequenza . Se eliminiamo i componenti a doppia frequenza portante, il rapporto tra l'energia I e l'energia Q appare come:4ω
σ2I(t)σ2Q(t)=E((12)2)E(0)=∞
Questo è l'obiettivo di un ricevitore di modulazione di quadratura coerente: il segnale posizionato nel canale in fase (I) viene portato nel segnale I del ricevitore senza perdite nel segnale di quadratura (Q).
Modifica: volevo rispondere ai tuoi commenti qui sotto. Per un ricevitore in quadratura, la frequenza portante sarebbe nella maggior parte dei casi al centro della larghezza di banda del segnale trasmesso, quindi invece di essere limitata alla frequenza portante , un tipico segnale di comunicazione sarebbe passabanda nell'intervallo , dove è la sua larghezza di banda modulata. Un ricevitore in quadratura mira a convertire il segnale in banda base come passo iniziale; questo può essere fatto trattando i canali I e Q come componenti reali e immaginari di un segnale a valore complesso per le successive fasi di analisi.ω [ω−B2,ω+B2]B
Per quanto riguarda il tuo commento sulle statistiche del secondo ordine del ciclostazionario , hai un errore. La natura ciclostazionaria del segnale viene catturata nella sua funzione di autocorrelazione. Lascia che la funzione sia :x(t)R(t,τ)
R(t,τ)=E(x(t)x(t−τ))
R(t,τ)=E(n(t)n(t−τ)sin(2ωt)sin(2ω(t−τ)))
R(t,τ)=E(n(t)n(t−τ))sin(2ωt)sin(2ω(t−τ))
A causa della bianchezza del processo di rumore originale , l'aspettativa (e quindi l'intero lato destro dell'equazione) è zero per tutti i valori diversi da zero di .n(t)τ
R(t,τ)=σ2δ(τ)sin2(2ωt)
L'autocorrelazione non è più solo un semplice impulso a zero lag; invece, è una variante temporale e periodica a causa del fattore di ridimensionamento sinusoidale. Ciò provoca il fenomeno che hai osservato inizialmente, in quanto vi sono periodi di "varianza elevata" in e altri periodi in cui la varianza è inferiore. I periodi di "alta varianza" sono scelti demodulando per mezzo di una sinusoide coerente con quella usata per modulare, che è ragionevole.x(t)