Quali strumenti matematici esistono per comprendere il rumore modulato?

Supponiamo di avere un segnale che consiste nel rumore bianco gaussiano. Se moduliamo questo segnale moltiplicandolo per , il segnale risultante ha ancora uno spettro di potenza bianco, ma chiaramente il rumore è ora "raggruppato" nel tempo. Questo è un esempio di processo ciclostazionario . $n$ $\sin 2\omega t$

X (t) = n (t) peccato 2 ω t

$x(t) = n(t) \sin2\omega t$

Supponiamo che ora demoduliamo questo segnale ad una frequenza mescolandoci con oscillatori locali seno e coseno, formando segnali I e Q: $\omega$

io = X (t) \times peccato ω t

$I = x(t) \times \sin\omega t$

Q = x (t) \times \cos ω t

$Q = x(t) \times \cos\omega t$

Osservando ingenuamente che lo spettro di potenza di (preso in un intervallo di tempo molto maggiore di ) è bianco, ci aspetteremmo che e contengano entrambi un rumore gaussiano bianco della stessa ampiezza. Tuttavia, ciò che accade realmente è che la quadratura campiona selettivamente le porzioni della timeseries con elevata varianza, mentre , novanta gradi fuori fase, campiona le porzioni di varianza inferiore: $x(t)$ $1/f$ $I$ $Q$ $I$ $x(t)$ $Q$

rappresentazione del rumore modulato

Il risultato è che la densità del rumore spettrale che è volte quella di . $\sqrt{3}$ $Q$

Chiaramente ci deve essere qualcosa oltre lo spettro di potenza che è utile per descrivere il rumore modulato. La letteratura del mio campo ha una serie di articoli accessibili che descrivono il processo di cui sopra, ma vorrei imparare come viene trattato più in generale dalle comunità di elaborazione del segnale / EE.

Quali sono alcuni strumenti matematici utili per comprendere e manipolare il rumore ciclostazionario? Qualsiasi riferimento alla letteratura sarebbe anche apprezzato.

Riferimenti:

Niebauer et al, "Rumore di colpo non stazionario e relativo effetto sulla sensibilità degli interferometri". Phys. Rev. A 43, 5022–5029 .

noise modulation cyclostationary-random-process

— nibot
fonte

Per ottenere i risultati che mostri, il tuo demodulatore deve convertire verso il basso con la stessa frequenza portante, , non solo .

2 ω

$2 \omega$

ω

$\omega\$

— Jason R,

@Jason R, Ah, vedo che ho fatto un errore con la modulazione originale . È dovuto a un errore nel passaggio dal rumore di Poisson al rumore gaussiano.

2 ω

$2\omega$

— nibot,

Non sono sicuro di cosa stai cercando qui. Il rumore è in genere descritto attraverso la sua densità spettrale di potenza o equivalentemente la sua funzione di autocorrelazione; la funzione di autocorrelazione di un processo casuale e il suo PSD sono una coppia di trasformate di Fourier. Il rumore bianco, ad esempio, ha un'auto-correlazione impulsiva; questo si trasforma in uno spettro di potenza piatta nel dominio di Fourier.

Il tuo esempio (anche se in qualche modo poco pratico) è analogo a un ricevitore di comunicazione che osserva un rumore bianco modulato dal portatore con una frequenza portante di . Il ricevitore di esempio è abbastanza fortunato, poiché ha un oscillatore che è coerente con quello del trasmettitore; non esiste alcun sfasamento tra i sinusoidi generati sul modulatore e sul demodulatore, consentendo la possibilità di una "perfetta" conversione verso la banda base. Questo non è poco pratico da solo; esistono numerose strutture per ricevitori di comunicazioni coerenti. Tuttavia, il rumore è tipicamente modellato come un elemento aggiuntivo del canale di comunicazione che non è correlato al segnale modulato che il ricevitore cerca di recuperare; $2 \omega$

Detto questo, tuttavia, uno sguardo alla matematica dietro il tuo esempio può spiegare la tua osservazione. Al fine di ottenere i risultati descritti (almeno nella domanda originale), il modulatore e il demodulatore hanno oscillatori che funzionano con una frequenza e una fase di riferimento identiche. Il modulatore emette quanto segue:

\begin{aligned} n (t) & \sim N (0, σ^{2}) \\ x (t) & = n (t) \sin (2 ω t) \end{aligned}

$\begin{align} n(t) &\sim \mathcal{N}(0, \sigma^2) \\ x(t) & = n(t) \sin(2\omega t) \end{align}$

Il ricevitore genera i segnali I e Q convertiti verso il basso come segue:

\begin{aligned} I (t) & = x (t) \sin (2 ω t) = n (t) \sin^{2} (2 ω t) \\ Q (t) & = x (t) \cos (2 ω t) = n (t) \sin (2 ω t) \cos (2 ω t) \end{aligned}

$\begin{align} I(t) &= x(t) \sin(2 \omega t) = n(t) \sin^2(2 \omega t)\\ Q(t) &= x(t) \cos(2 \omega t) = n(t) \sin(2 \omega t) \cos(2 \omega t) \end{align}$

Alcune identità trigonometriche possono aiutare ad arricchire e ancora: $I(t)$ $Q(t)$

\begin{aligned} \sin^{2} (2 ω t) & = \frac{1 - \cos (4 ω t)}{2} \\ \sin (2 ω t) \cos (2 ω t) & = \frac{\sin (4 ω t) + \sin (0)}{2} = \frac{1}{2} \sin (4 ω t) \end{aligned}

$\begin{align} \sin^2(2 \omega t) &= \frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\\ \sin(2 \omega t) \cos(2 \omega t) &= \frac{\sin(4 \omega t) + \sin(0)}{2} = \frac{1}{2} \sin(4 \omega t) \end{align}$

Ora possiamo riscrivere la coppia di segnali convertiti verso il basso come:

\begin{aligned} I (t) & = n (t) \frac{1 - \cos (4 ω t)}{2} \\ Q (t) & = \frac{1}{2} n (t) \sin (4 ω t) \end{aligned}

$\begin{align} I(t) &= n(t) \frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\\ Q(t) &= \frac{1}{2} n(t) \sin(4 \omega t) \end{align}$

Il rumore in ingresso è a media zero, quindi anche e sono a media zero. Ciò significa che le loro variazioni sono: $I(t)$ $Q(t)$

\begin{aligned} σ_{io (t)}^{2} & = E ({io}^{2} (t)) = E (n^{2} (t) {[\frac{1 - \cos (4 ω t)}{2}]}^{2}) = E (n^{2} (t)) E ({[\frac{1 - \cos (4 ω t)}{2}]}^{2}) \\ σ_{Q (t)}^{2} & = E (Q^{2} (t)) = E (n^{2} (t) {peccato}^{2} (4 ω t)) = E (n^{2} (t)) E ({peccato}^{2} (4 ω t)) \end{aligned}

$\begin{align} \sigma^{2}_{I(t)} &= \mathbb{E}(I^2(t)) = \mathbb{E}\left(n^2(t) \left[\frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\right]^2\right) = \mathbb{E}\left(n^2(t)\right) \mathbb{E}\left(\left[\frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\right]^2\right) \\ \sigma^{2}_{Q(t)} &= \mathbb{E}(Q^2(t)) = \mathbb{E}\left(n^2(t) \sin^2(4 \omega t)\right) = \mathbb{E}\left(n^2(t)\right) \mathbb{E}\left(\sin^2(4 \omega t)\right) \end{align}$

Hai notato il rapporto tra le varianze di e nella tua domanda. Può essere semplificato per: $I(t)$ $Q(t)$

\frac{σ_{I (t)}^{2}}{σ_{Q (t)}^{2}} = \frac{E ({[\frac{1 - \cos (4 ω t)}{2}]}^{2})}{E (\sin^{2} (4 ω t))}

$\frac{\sigma^{2}_{I(t)}}{\sigma^{2}_{Q(t)}} = \frac{\mathbb{E}\left(\left[\frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\right]^2\right)}{\mathbb{E}\left(\sin^2(4 \omega t)\right)}$

Le aspettative sono prese sulla variabile temporale processo casuale . Poiché le funzioni sono deterministiche e periodiche, ciò equivale in realtà al valore medio quadrato di ciascuna funzione sinusoidale in un periodo; per i valori mostrati qui, ottieni un rapporto di , come hai notato. Il fatto che si ottiene più potenza del rumore nel canale I è un artefatto del rumore che viene modulato in modo coerente (cioè in fase) con il riferimento sinusoidale del demodulatore. Sulla base della matematica sottostante, questo risultato è prevedibile. Come ho affermato prima, tuttavia, questo tipo di situazione non è tipico. $n(t)$ $t$ $\sqrt 3$

Anche se non lo hai chiesto direttamente, volevo notare che questo tipo di operazione (modulazione da parte di un corriere sinusoidale seguito dalla demodulazione di una riproduzione identica o quasi identica del corriere) è un elemento fondamentale nei sistemi di comunicazione. Un vero ricevitore di comunicazione, tuttavia, includerebbe un ulteriore passaggio dopo la demodulazione del vettore: un filtro passa-basso per rimuovere i componenti del segnale I e Q alla frequenza . Se eliminiamo i componenti a doppia frequenza portante, il rapporto tra l'energia I e l'energia Q appare come: $4 \omega$

\frac{σ_{I (t)}^{2}}{σ_{Q (t)}^{2}} = \frac{E ((\frac{1}{2})^{2})}{E (0)} = \infty

$\frac{\sigma^{2}_{I(t)}}{\sigma^{2}_{Q(t)}} = \frac{\mathbb{E}\left((\frac{1}{2})^2\right)}{\mathbb{E}(0)} = \infty$

Questo è l'obiettivo di un ricevitore di modulazione di quadratura coerente: il segnale posizionato nel canale in fase (I) viene portato nel segnale I del ricevitore senza perdite nel segnale di quadratura (Q).

Modifica: volevo rispondere ai tuoi commenti qui sotto. Per un ricevitore in quadratura, la frequenza portante sarebbe nella maggior parte dei casi al centro della larghezza di banda del segnale trasmesso, quindi invece di essere limitata alla frequenza portante , un tipico segnale di comunicazione sarebbe passabanda nell'intervallo , dove è la sua larghezza di banda modulata. Un ricevitore in quadratura mira a convertire il segnale in banda base come passo iniziale; questo può essere fatto trattando i canali I e Q come componenti reali e immaginari di un segnale a valore complesso per le successive fasi di analisi. $\omega\$ $[\omega - \frac{B}{2}, \omega + \frac{B}{2}]$ $B$

Per quanto riguarda il tuo commento sulle statistiche del secondo ordine del ciclostazionario , hai un errore. La natura ciclostazionaria del segnale viene catturata nella sua funzione di autocorrelazione. Lascia che la funzione sia : $x(t)$ $R(t, \tau)$

R (t, τ) = E (x (t) x (t - τ))

$R(t, \tau) = \mathbb{E}(x(t)x(t - \tau))$

R (t, τ) = E (n (t) n (t - τ) \sin (2 ω t) \sin (2 ω (t - τ)))

$R(t, \tau) = \mathbb{E}(n(t)n(t - \tau) \sin(2 \omega t) \sin(2 \omega(t - \tau)))$

R (t, τ) = E (n (t) n (t - τ)) \sin (2 ω t) \sin (2 ω (t - τ))

$R(t, \tau) = \mathbb{E}(n(t)n(t - \tau)) \sin(2 \omega t) \sin(2 \omega(t - \tau))$

A causa della bianchezza del processo di rumore originale , l'aspettativa (e quindi l'intero lato destro dell'equazione) è zero per tutti i valori diversi da zero di . $n(t)$ $\tau$

R (t, τ) = σ^{2} δ (τ) \sin^{2} (2 ω t)

$R(t, \tau) = \sigma^2 \delta(\tau) \sin^2(2 \omega t)$

L'autocorrelazione non è più solo un semplice impulso a zero lag; invece, è una variante temporale e periodica a causa del fattore di ridimensionamento sinusoidale. Ciò provoca il fenomeno che hai osservato inizialmente, in quanto vi sono periodi di "varianza elevata" in e altri periodi in cui la varianza è inferiore. I periodi di "alta varianza" sono scelti demodulando per mezzo di una sinusoide coerente con quella usata per modulare, che è ragionevole. $x(t)$

— Jason R
fonte

Ri: "Questo è l'obiettivo di un ricevitore di modulazione di quadratura coerente ..." - questo è vero solo se il segnale originale è limitato in banda a frequenze inferiori alla frequenza portante, giusto?

— nibot,

Ri: "Il rumore è in genere descritto attraverso la sua densità spettrale di potenza, o equivalentemente la sua funzione di autocorrelazione". Questo rumore ciclostazionario ( ) è spettralmente bianco e ha una funzione di autocorrelazione , proprio come il rumore gaussiano regolare (stazionario). Sto cercando una descrizione che incapsuli la sua natura ciclostazionaria.

n (t) \cdot \sin ω t

$n(t)\cdot\sin\omega t$

δ (t)

$\delta(t)$

— nibot,

Ho modificato la risposta per parlare dei tuoi due commenti.

— Jason R,

@Jason, buon post. Sto cercando di capire, tuttavia, la parte in cui parli del processo di ciclostazionarietà. Sto facendo fatica a capire perché 't' qui è una funzione di R ... - dopo l'operatore dell'aspettativa, non c'è più alcuna variabile 't' (tempo) ... solo una funzione di tau.

— Spacey,

@Jason nevermind, ho appena capito che 't' deve essere lì dato che le statistiche cambiano con il tempo (anche se ciclicamente), quindi la funzione autocorr sarà anche una funzione del tempo e del ritardo ... ma in cosa non capisco questo caso è come hai ottenuto il delta * sin ^ 2 ... questo mi merita una vera domanda da pubblicare?

— Spacey,