Una matrice asimmetrica di Bernoulli soddisfa il PIR?

Definire una matrice di rilevamento con con probabilità e con probabilità . Fa soddisfare la proprietà isometria ristretta ? $n\times N$ $A$ $A_{ij} = 0$ $p$ $A_{ij} = 1/\sqrt{n}$ $1-p$ $A$

Per riferimento, al caso simmetrico viene data risposta nel seguente documento:

RG Baraniuk, MA Davenport, RA DeVore e MB Wakin, "Una semplice prova della proprietà isometria limitata per matrici casuali," Approssimazione costruttiva, 28 (3) pp. 253-263, dicembre 2008. ( pdf )

compressive-sensing

— olivia
fonte

Questo può essere un puntatore: ieeexplore.ieee.org/xpls/abs_all.jsp?arnumber=5512379 (purtroppo è paywalled e non ne ho trovato una copia OA). Non conosco il documento in dettaglio, ma quello che posso vedere da una rapida occhiata è che non considerano un caso generale come chiedi; considerano p = 1/2. Inoltre, non so quanto siano approfonditi sul PIR di tali matrici.

— Thomas Arildsen,

Questo potrebbe anche essere un suggerimento: rauhut.ins.uni-bonn.de/RauhutSlidesLinz.pdf (pagina 98). Sfortunatamente, sembra che quelle che lui chiama Bernoulli variabili casuali siano casuali +/- 1 - non 0/1 (io chiamerei questi Rademacher).

— Thomas Arildsen,

Consentitemi di ripetere l'essenza di un commento che ho fatto sullo stesso post (ora eliminato) su stats.SE : Aiuterebbe a rendere questa domanda più precisa e indicare a cosa esattamente siete interessati e cosa state lottando per adattarvi. Il commento di @Thomas è rilevante; inoltre non sappiamo a quale grado (cioè ordine) di scarsità siete interessati. Anche se consideriamo le funzioni di Rademacher, la risposta è chiaramente no in alcun senso uniforme (in ), poiché è (o, sufficientemente vicino ) in modo che vi sia (un'alta probabilità di) una sottostruttura essendo tutte. (cont.)

p

$p$

p

$p$

1

$1$

— cardinale il

p_{n} \in (0, 1)

$p_n \in (0,1)$

n

$n$

p

$p$

p

$p$

A_{i j} = (1 - p) / \sqrt{n}

$A_{ij} = (1-p)/\sqrt{n}$

p

$p$

- p / \sqrt{n}

$-p/\sqrt{n}$

(1 - p)

$(1-p)$

A

$A$

A

$A$

A

$A$

Come altri hanno affermato nei commenti, la risposta è "No". La media diversa da zero della matrice impone che un vettore medio diverso da zero (diciamo tutti) avrà un guadagno sostanzialmente più elevato di un vettore casuale con media zero (diciamo uniformemente casuale + 1, -1).

Si consideri la norma quadrata di A volte si prevede che un vettore costante y sia n * (p * N) ^ 2. (iterazione delle aspettative)

La norma quadrata di A volte un vettore x disegnato uniformemente da (-1, + 1) dovrebbe essere n * (p * N). (calcolabile per somma delle varianze della distribuzione binomiale)

Le norme di xey sono le stesse, ma l'aspettativa delle norme trasformate differisce di un fattore di p * N - divergente con l'aumentare delle dimensioni.

Ecco il codice matlab per aiutare a dimostrare.

n=2000;
N=1000;
p=.9;
A=double(rand(n,N)<p); 
x=sign(randn(N,1)); 
y=ones(N,1);
Ex_normSqAx = n*(N*p);  % E[ squared norm of A times random signs ]
Ex_normSqAy = n*(N*p)^2; % E[ squared norm of A times constant vector ]
normSqAx = norm(A*x)^2;
normSqAy = norm(A*y)^2;

— Mark Borgerding
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