Qual è la frequenza di taglio di un filtro a media mobile?

Devo progettare un filtro a media mobile con una frequenza di taglio di 7,8 Hz. Ho già usato filtri a media mobile prima, ma per quanto ne so, l'unico parametro che può essere inserito è il numero di punti da calcolare in media ... Come può essere correlato a una frequenza di taglio?

L'inverso di 7,8 Hz è ~ 130 ms e sto lavorando con dati campionati a 1000 Hz. Ciò implica che dovrei usare una dimensione media della finestra del filtro mobile di 130 campioni o c'è qualcos'altro che mi manca qui?

Il filtro a media mobile (talvolta noto colloquialmente come filtro boxcar ) ha una risposta all'impulso rettangolare:

$$h[n] = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} \delta[n-k]$$

O, diversamente indicato:

$$h[n] = \begin{cases} \frac{1}{N}, && 0 \le n < N \\ 0, && \text{otherwise} \end{cases}$$

Ricordando che la risposta in frequenza di un sistema a tempo discreto è uguale alla trasformata di Fourier a tempo discreto della sua risposta all'impulso, possiamo calcolarla come segue:

$$\begin{align} H(\omega) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j\omega n} \\ &= \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} e^{-j\omega n} \end{align}$$

Per semplificare questo, possiamo usare la formula nota per la somma dei primi termini di una serie geometrica$N$ :

$$\sum_{n=0}^{N-1} e^{-j\omega n} = \frac{1-e^{-j \omega N}}{1 - e^{-j\omega}}$$

Ciò che ci interessa di più per il tuo caso è la risposta di grandezza del filtro, . Usando un paio di semplici manipolazioni, possiamo ottenerlo in una forma più facile da comprendere:$|H(\omega)|$

$$\begin{align} H(\omega) &= \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} e^{-j\omega n} \\ &= \frac{1}{N} \frac{1-e^{-j \omega N}}{1 - e^{-j\omega}} \\ &= \frac{1}{N} \frac{e^{-j \omega N/2}}{e^{-j \omega/2}} \frac{e^{j\omega N/2} - e^{-j\omega N/2}}{e^{j\omega /2} - e^{-j\omega /2}} \end{align}$$

Questo potrebbe non sembrare più facile da capire. Tuttavia, a causa dell'identità di Eulero , ricorda che:

$$\sin(\omega) = \frac{e^{j\omega} - e^{-j\omega}}{j2}$$

Pertanto, possiamo scrivere quanto sopra come:

$$\begin{align} H(\omega) &= \frac{1}{N} \frac{e^{-j \omega N/2}}{e^{-j \omega/2}} \frac{j2 \sin\left(\frac{\omega N}{2}\right)}{j2 \sin\left(\frac{\omega}{2}\right)} \\ &= \frac{1}{N} \frac{e^{-j \omega N/2}}{e^{-j \omega/2}} \frac{\sin\left(\frac{\omega N}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)} \end{align}$$

Come ho detto prima, ciò di cui sei veramente preoccupato è l'entità della risposta in frequenza. Quindi, possiamo prendere la grandezza di quanto sopra per semplificarlo ulteriormente:

$$|H(\omega)| = \frac{1}{N} \left|\frac{\sin\left(\frac{\omega N}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)}\right|$$

Nota: siamo in grado di eliminare i termini esponenziali perché non influiscono sull'entità del risultato; per tutti i valori di ω . Dal | x y | = | x | | y | per ogni due numeri complessi finiti x ed y , possiamo concludere che la presenza dei termini esponenziali non influiscono sulla risposta grandezza globale (invece, influenzano la risposta di fase del sistema).$|e^{j\omega}| = 1$$\omega$$|xy| = |x||y|$$x$$y$

La funzione risultante all'interno delle parentesi magnitudo è una forma di un kernel Dirichlet . Talvolta viene chiamata una funzione sinc periodica , perché in qualche modo assomiglia alla funzione sinc , ma è invece periodica.

Ad ogni modo, poiché la definizione della frequenza di taglio è in qualche modo poco specificata (-3 dB punto? -6 dB punto? Primo sidelobe null?), Puoi usare l'equazione sopra per risolvere qualunque cosa tu abbia bisogno. In particolare, è possibile effettuare le seguenti operazioni:

1. Imposta $|H(\omega)|$al valore corrispondente alla risposta del filtro che si desidera alla frequenza di taglio.

2. Impostare uguale alla frequenza di taglio. Per mappare una frequenza di tempo continuo al dominio del tempo discreto, ricordare che ω = 2 π $\omega$ , dovefsè la frequenza di campionamento.$\omega = 2\pi \frac{f}{f_s}$$f_s$

3. Trova il valore di che ti dà il miglior accordo tra i lati sinistro e destro dell'equazione. Dovrebbe essere la lunghezza della tua media mobile.$N$

If $N$ is the length of the moving average, then an approximate cut-off frequency $F_{co}$ (valid for $N >= 2$) in normalized frequency $F=f/fs$ is:

$F_{co} = \frac {0.442947} {\sqrt{N^2-1}}$

The inverse of this is

$N = \frac {\sqrt{0.196202 + F_{co}^2}}{F_{co}}$

This formula is asymptotically correct for large N, and has about 2% error for N=2, and less than 0.5% for N>=4.

P.S.: After two years, here finally what was the approach followed. The result was based on approximating the MA amplitude spectrum around $f=0$ as a parabola (2nd order Series) according to

$MA(\Omega) = \frac {Sin(\Omega∗N/2)}{Sin(\Omega/2)}$

$MA(\Omega) \approx 1+(\frac{1}{24}-\frac{N^2}{24})\Omega^2$

which can be made more exact near the zero crossing of $MA(\Omega)-\frac{\sqrt2}{2}$ by multiplying $\Omega$ by a coefficient

$\alpha=0.95264$

obtaining $MA(\Omega) \approx 1+0.907523(\frac{1}{24}-\frac{N^2}{24})\Omega^2$

The solution of $MA(\Omega)-\frac{\sqrt2}{2}=0$ gives the results above, where $2\pi F_{co}=\Omega_{co}$.

All of the above relates to the -3dB cut off frequency, the subject of this post.

Sometimes though it is interesting to obtain an attenuation profile in stop-band which is comparable with that of a 1st order IIR Low Pass Filter (single pole LPF) with a given -3dB cut off frequency (such a LPF is also called leaky integrator, having a pole not exactly at DC but near to it).

In fact both the MA and the 1st order IIR LPF have -20dB/decade slope in the stop band (one needs a larger N than the one used in the figure, N=32, to see this), but whereas MA has spectral nulls at $F=k/N$ and a $1/f$ evelope, the IIR filter only has a $1/f$ profile.

$H_{IIR} = \frac{1-Exp(-\Omega_{co})}{1-Exp(-\Omega_{co})*Exp(j \Omega)}$

If one wants to obtain an MA filter with similar noise filtering capabilities as this IIR filter, and matches the 3dB cut off frequencies to be the same, upon comparing the two spectra, he would realize that the stop band ripple of the MA filter ends up ~3dB below that of the IIR filter.

In order to get the same stop-band ripple (i.e. same noise power attenuation) as the IIR filter the formulas can be modified as follows:

$F_{co,IIR} = \frac {0.32} {\sqrt{N^2-1}}$

$N = \frac {\sqrt{0.1024 + F_{co,IIR}^2}}{F_{co,IIR}}$