Quale sarebbe l'impatto di P = NP? [chiuso]

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Mi sto preparando per un test e non riesco a trovare una risposta chiara alla domanda: quale sarebbe l'impatto di dimostrare che PTIME = NPTIME. Ho controllato Wikipedia e ha appena detto che avrebbe "un profondo impatto su matematica, intelligenza artificiale, algoritmi ..." ecc.

Qualcuno può darmi una risposta?

algorithms  complexity 
— latusaki
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Ciò non ha nulla a che fare con lo sviluppo del software. Ho chiuso per ora, ma ho chiesto alle mod di Math.StackExchange se vorrebbero che migrassi questo per te.
— maple_shaft

Risposte:

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La prima cosa che viene in mente è che la sicurezza della crittografia a chiave pubblica attualmente dipende dall'incapacità di risolvere i problemi di matematica bruta nella classe di difficoltà NP. Se P = NP, tutto ciò che dipende da PKC (incluso HTTPS, il che significa che l'intera infrastruttura e-commerce moderna e mondiale ) dovrebbe essere rielaborata!

— Mason Wheeler
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Assicurerebbe che ci siano algoritmi che girano in tempo polinomiale. Sarebbe quindi solo un conto alla rovescia per trovare quegli algoritmi e poi kaboom per così dire.
— Ingegnere mondiale,
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Una prova implicherebbe la ricerca di un algoritmo temporale polinomiale per un problema NP-completo. E quando trovi un algoritmo polinomiale, puoi usarlo per risolvere tutti gli altri problemi NP-completi riducendo i problemi a una forma comune. Ciò significa che appariranno contemporaneamente una prova per P = NP e gli algoritmi che lo usano.
— Oleksi,
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Naturalmente i fattori costanti potrebbero essere così grandi da rendere questo solo un problema teorico ... per qualche tempo.
— quant_dev,
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Quando troviamo un tale algoritmo potrebbe avere ancora un fattore orribilmente elevato costante o essere di un livello eccezionale (n ^ 10000 è polinomiale, ma per molti scopi pratici è molto peggio di una piccola complessità esponenziale). Naturalmente sarebbe un segnale di avvertimento per tutti allontanarsi dai vecchi metodi, come se ci fossimo allontanati dal DES prima che si dimostrasse risolvibile, ma l'economia mondiale non sarebbe immediatamente crollata. Basti pensare al denaro stesso: tutti alla fine sanno che in realtà non funziona se non ci credi, ma il commercio globale funziona ancora bene.
— Kilian Foth,
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Probabilmente ricorreremo all'utilizzo dei pad una tantum. Amazon potrebbe inviarti un thumbdrive da 1 Gig che funzionerebbe con il suo sito e ti trattenere per il resto della tua vita.
— Macneil,
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Questo è trattato in The Status of P Versus NP Problem . Sicuramente merita una lettura.

Alcuni punti salienti dell'articolo (citato dalla sezione What If P = NP? ):

  • La crittografia a chiave pubblica diventa impossibile.
  • Poiché tutti i problemi di ottimizzazione NP-completi diventano facili, tutto sarà molto più efficiente. Il trasporto di tutte le forme sarà programmato in modo ottimale per spostare persone e merci in modo più rapido ed economico. I produttori possono migliorare la propria produzione per aumentare la velocità e creare meno rifiuti.
  • L'apprendimento diventa facile usando il principio del rasoio di Occam: troviamo semplicemente il programma più piccolo coerente con i dati. Il riconoscimento della visione quasi perfetta, la comprensione e la traduzione della lingua e tutti gli altri compiti di apprendimento diventano banali. Avremo anche previsioni molto migliori di tempo e terremoti e altri fenomeni naturali.
  • P = NP avrebbe anche grandi implicazioni in matematica. Si potrebbero trovare prove brevi e completamente logiche per i teoremi, ma queste prove sono di solito estremamente lunghe. Ma possiamo usare il principio del rasoio Occam per riconoscere e verificare le prove matematiche come tipicamente scritte nelle riviste. Possiamo quindi trovare prove di teoremi che hanno prove di lunghezza ragionevole in meno di 100 pagine. Una persona che dimostra P = NP sarebbe tornata a casa dal Clay Institute non con un assegno da $ 1 milione ma con sette (in realtà sei poiché la congettura di Poincaré sembra risolta).
— vinaykola
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Non riesco a vedere come P = NP implichi che la crittografia a chiave pubblica sia impossibile. Suggerisce (ma non implica) che le attuali implementazioni non sono così difficili da infrangere come pensavamo in precedenza. Ma come altri hanno sottolineato, se le costanti pertinenti in un algoritmo di riduzione del tempo ottimale sono estremamente grandi, allora P = NP non avrebbe alcun impatto sulla crittografia a chiave pubblica.
— emory
+1 per il terzo punto elenco: tutti sanno che P = NP influenzerebbe la criptovaluta, ma per qualche ragione raramente senti parlare di come influenzerebbe letteralmente ogni altra disciplina informatica sul pianeta.
— BlueRaja - Danny Pflughoeft
@emoria: non pretendo di essere un esperto, ma la mia comprensione è che se fosse stato trovato un tale algoritmo, anche con una costante abbastanza elevata, dovremmo ripensare totalmente il nostro approccio. Inoltre, chi può dire una volta trovato un algoritmo, non possiamo trovarne un altro con una costante più piccola? Un algoritmo sbloccarebbe anche tutti gli altri problemi NP-completi. Quindi l'effetto immediato potrebbe non essere grande, ma si dovrebbe pensare molto al cambiamento di tutti i sistemi esistenti.
— vinaykola,
la prima volta che ho sentito parlare del principio del rasoio di Occam.
— Cose
@vinaykola dimostrando che P = NP non implica la ricerca di un algoritmo. Naturalmente trovare un algoritmo sarebbe il modo più semplice (ma non l'unico) per dimostrare P = NP e quindi se le costanti fossero ragionevoli, potremmo entrare nei problemi che hai sollevato.
— emory
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La maggior parte dei problemi NP completi hanno applicazioni "interessanti" nella vita reale. P=NPavrà molte conseguenze:

  • Sarà possibile risolvere esattamente i problemi di ottimizzazione che sono attualmente approssimati. Questo è il caso del problema del commesso viaggiatore e del problema di pianificazione del lavoro
  • Infrange alcune misure di sicurezza basate sul fatto che il tempo di calcolo richiesto è enorme. Ad esempio, molti schemi di crittografia e algoritmi nella crittografia si basano sulla fattorizzazione numerica, l'algoritmo più noto con complessità esponenziale. Questi algoritmi diventeranno inutili se viene trovato un algoritmo polinomiale.

La linea di fondo è sulla natura dei problemi noti per essere NP-completi. Questi non sono solo problemi creati da pochi scienziati in una località remota per intrattenersi a vicenda. Possono essere espressi in termini commerciali. In effetti, ad alcuni intervistatori di lavoro piace nascondere i problemi NP-completi nelle loro domande al fine di testare i candidati.

— UmNyobe
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Mentre la fattorizzazione a numeri interi è un problema difficile, vale la pena notare che non è noto per essere NP-completo.
— dan_waterworth,
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@dan_waterworth: non è noto se la fattorizzazione in numeri interi sia NP-difficile, ma è noto che si trova in NP. [Spesso sembra che le persone dicano "NP-complete" quando intendono "in NP" o "NP-hard". In un certo senso, sarebbe come se qualcuno dicesse "minore o uguale a" in una situazione in cui "minore di" sarebbe più preciso.]
— Macneil,
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Queste possibilità sono coperte nei Cinque mondi di Impagliazzo .

Ecco alcuni punti da asporto:

  • L'intelligenza artificiale sarebbe in grado di fare un grande salto. Ad esempio, con sufficienti "dati di addestramento", i circuiti più corti per produrre gli output corretti dagli input rappresenterebbero il miglior metodo di traduzione. In particolare, sarebbe banale avere un riconoscimento vocale e una traduzione linguistica perfetti. Portando ulteriormente questa idea, se i tuoi dati di allenamento sono film vincitori di un Oscar, puoi generare più film vincitori di Oscar per te.

  • Gli algoritmi insegnati nelle scuole sarebbero radicalmente diversi. Invece di apprendere così tante tecniche algoritmiche diverse , i corsi si concentrerebbero sulla riduzione dei problemi alla verifica delle risposte corrette. Ciò semplificherebbe notevolmente la programmazione.

  • L'economia diventerebbe molto più efficiente. Ci sarebbero interruzioni, incluso forse lo spostamento dei programmatori. La pratica della programmazione stessa riguarderebbe più la raccolta di dati di addestramento e meno la scrittura di codice. Google avrebbe le risorse per eccellere in un mondo del genere.

  • Poiché la crittografia a chiave pubblica sarebbe "fuori", Amazon avrebbe bisogno di inviarti una sola volta su una chiavetta per poter effettuare transazioni sicure.

  • Le prove matematiche potrebbero essere generate e verificate automaticamente.

Nel complesso, introdurrebbe una singolarità tecnologica; le implicazioni di P = NP sarebbero di vasta portata. Inoltre, Lance Fortnow affronta questo punto in un post di blog separato che dovresti leggere.

— MacNeil
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L'impatto della dimostrazione di P = NP includerebbe un rinnovato interesse nel trovare un algoritmo di riduzione. Le persone proverebbero anche a trovare alcuni limiti inferiori sulle costanti associate all'algoritmo di riduzione.

Dimostrare che P = NP non sarebbe significativo come sostengono altre risposte, perché potrebbe presentarsi sotto forma di una prova a conoscenza zero. Conoscere P = NP senza conoscere l'algoritmo di riduzione sarebbe leggermente diverso dalla situazione attuale.

Immagina se qualcuno dimostrasse l'esistenza dell'algoritmo di riduzione ma è O (sqrt (n) + 2 ^ 4096).

— emory
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In realtà, esiste un algoritmo di riduzione esplicita che è in P se e solo se P = NP. Consiste nell'iterare su tutti i programmi possibili ed eseguirli in parallelo fino a quando non si trova la soluzione.
— Arthur B,
@ArthurB affascinante. Supponendo che P = NP, qual è l'ordine dell'algoritmo?
— emory
Non è noto, ma è l'ordine ottimale. scholarpedia.org/article/Universal_search
— Arthur B,
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@ArthurB quindi se P = NP e l'algoritmo di riduzione è O (n ^ 99999999) P = NP è ancora un grosso problema?
— emory
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