Sono abbastanza sicuro di capire come funziona l'integrazione Monte Carlo ma non capisco la formulazione di come viene utilizzata per stimare Pi. Seguirò la procedura descritta nella quinta diapositiva di questa presentazione http://homepages.inf.ed.ac.uk/imurray2/teaching/09mlss/slides.pdf
Comprendo i passaggi preliminari. Pi è uguale a 4 volte l'area di un quarto del cerchio unitario. E l'area del quarto in alto a destra del cerchio unitario centrato su (0,0) è equivalente all'integrale della curva che è il quarto in alto a destra del cerchio unitario in e . 0 < y < 1
Quello che non capisco è come questo integrale sia
dove è distribuito uniformemente nel quadrato dell'unità attorno al quarto di cerchio (cioè è sempre uguale a 1 se e e 0 altrimenti). Quindi questo significherebbe che
è la funzione che è il quadrante in alto a destra del cerchio unitario a e ma non capisco come questo sia vero poiché la funzione indicatore può essere solo 1 o 0. Capisco che probabilmente è scritto in questo modo per facilitare il campionamento Monte Carlo (cioè è un'aspettativa, quindi basta campionare da e ottieni la media dei campioni applicati a ) ma non ha senso intuitivo per me perché quell'integrale rappresenti l'area sotto quella curva.
Qualcuno potrebbe fornire una spiegazione intuitiva di questo. Magari mostra come quell'integrale è stato derivato in modo graduale?
MODIFICARE:
Sono stato in grado di comprendere meglio collegando le aspettative a un'area. Lo spiegherò qui nel caso in cui aiuti qualcuno. Per prima cosa inizia con la relazione Pi con l'area del quadrante in alto a destra del cerchio unitario
Quindi posizioniamo il quadrante in alto a destra nel quadrato dell'unità. E sotto una distribuzione uniforme sul quadrato dell'unità, l'area del quadrante del cerchio è proporzionale alla probabilità di ottenere un campione da esso. Ne segue che vale la seguente uguaglianza
e così
E sostituendo l'equazione originale
ed è anche vero che che è uguale al doppio integrale originale.
Quindi l'ho capito mettendo in relazione l'area con una probabilità, quindi mettendo in relazione tale probabilità con un'aspettativa equivalente all'integrale. Fammi sapere se ho fatto degli errori.