Modello di regressione lineare che si adatta meglio ai dati con errori

Sto cercando l'algoritmo di regressione lineare più adatto per un dato la cui variabile indipendente (x) ha un errore di misurazione costante e la variabile dipendente (y) ha un errore dipendente dal segnale.

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L'immagine sopra mostra la mia domanda.

— user46178
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Se la variabile costante x presenta un errore di misurazione costante e gli errori vengono utilizzati solo per ponderare le variabili in modo relativo, questa situazione non equivale a non avere errori in x?

— pedrofigueira,

@pedro Questo non è il caso, perché gli errori in non sono semplicemente pesi in una formula. Con la regressione degli errori nelle variabili gli accoppiamenti differiranno e le stime di covarianza dei parametri differiranno dalla regressione ordinaria.

x

$x$

— whuber

Grazie per il chiarimento. Potresti espandere un po 'il motivo per cui è così?

— pedrofigueira,

Errore di misurazione nella variabile dipendente

Dato un modello lineare generale con homosckedastic, non autocorrelato e non correlato con le variabili indipendenti, lascia che indichi la variabile "vera" e la sua misura osservabile. L'errore di misurazione è definito come la loro differenza Pertanto, il modello stimabile è: Poiché sono osservato, possiamo stimare il modello tramite OLS. Se l'errore di misurazione in è statisticamente indipendente da ciascuna variabile esplicativa, allora

\begin{matrix} (1) & y = β_{0} + β_{1} x_{1} + \dots + β_{k} x_{k} + ε \end{matrix}

$y=\beta_0+\beta_1 x_1+\cdots+\beta_kx_k+\varepsilon\tag{1}$

ε

$\varepsilon$

y^{*}

$y^*$

y

$y$

e = y - y^{*}

$e=y-y^*$

\begin{matrix} (2) & y = β_{0} + β_{1} x_{1} + \dots + β_{k} x_{k} + e + ε \end{matrix}

$y=\beta_0+\beta_1 x_1+\cdots+\beta_kx_k+e+\varepsilon\tag{2}$

y, x_{1}, \dots, x_{k}

$y,x_1,\dots,x_k$

y

$y$

(e + ε)

$(e+\varepsilon)$ condivide le stesse proprietà di e sono valide le normali procedure di inferenza OLS ( statistiche, ecc.). Tuttavia, nel tuo caso mi aspetto una varianza crescente di . Puoi usare:

ε

$\varepsilon$

t

$t$

e

$e$

uno stimatore dei minimi quadrati ponderati (ad es. Kutner et al. , §11.1; Verbeek , §4.3.1-3);
lo stimatore OLS, che è ancora imparziale e coerente, e errori standard coerenti con l'eteroschedasticità, o semplicemente errori standard Wite ( Verbeek , §4.3.4).

Errore di misura nella variabile indipendente

Dato lo stesso modello lineare di cui sopra, lascia che denoti il valore "vero" e sua misura osservabile. L'errore di misurazione è ora: Vi sono due situazioni principali ( Wooldridge , §4.4.2). $x_k^*$ $x_k$

e_{k} = x_{k} - x_{k}^{*}

$e_k=x_k-x_k^*$

$\text{Cov}(x_k,e_k)=0$ : l'errore di misurazione non è correlato alla misura osservata e deve pertanto essere correlato alla variabile non osservata ; scrittura e collegare questo in (1): dal e entrambi sono correlate con ogni , compresi , misura solo aumenta la varianza degli errori e viola nessuna delle ipotesi OLS; $x^*_k$ $x_k^*=x_k-e_k$
$y = β_{0} + β_{1} x_{1} + \dots + β_{k} x_{k} + (ε - β_{k} e_{k})$ $y=\beta_0+\beta_1x_1+\cdots+\beta_kx_k+(\varepsilon-\beta_ke_k)$ $\varepsilon$ $e$ $x_j$ $x_k$
$\text{Cov}(x^*_k,\eta_k)=0$ : l'errore di misurazione non è correlato alla variabile non osservata e deve quindi essere correlato alla misura osservata ; tale correlazione provoca prolem e la regressione OLS di su generalmente fornisce stimatori distorti e inconsistenti. $x_k$ $y$ $x_1,\dots,x_k$

Per quanto posso immaginare guardando la tua trama (errori centrati sui valori "veri" della variabile indipendente), si potrebbe applicare il primo scenario.

— Sergio
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