MCMC con algoritmo Metropolis-Hastings: scelta della proposta

Ho bisogno di fare una simulazione per valutare un integrale di una funzione a 3 parametri, diciamo , che ha una formula molto complicata. Viene chiesto di utilizzare il metodo MCMC per calcolarlo e implementare l'algoritmo Metropolis-Hastings per generare i valori distribuiti come f , ed è stato suggerito di utilizzare un normale 3 variato come distribuzione della proposta. Leggendo alcuni esempi a riguardo, ho visto che alcuni usano una normale con parametri fissi N ( μ , σ ) e alcuni usano una media variabile N ( X , σ ) , dove X è l'ultimo valore accettato distribuito secondo $f$$f$$N(\mu, \sigma)$$N(X, \sigma)$$X$$f$. Ho dei dubbi su entrambi gli approcci:

1) Qual è il significato della scelta dell'ultimo valore accettato come nuova media della nostra distribuzione di proposte? La mia intuizione dice che dovrebbe garantire che i nostri valori saranno più vicini ai valori distribuiti come e che le possibilità di accettazione sarebbero maggiori. Ma non concentra troppo il nostro campione? È garantito che, se ottengo più campioni, la catena diventerà stazionaria?$f$

2) Non sceglierei parametri fissi (poiché la è davvero difficile da analizzare) sarebbe davvero difficile e dipendente dal primo campione che dobbiamo scegliere per avviare l'algoritmo? In questo caso, quale sarebbe l'approccio migliore per trovare quale è meglio?$f$

Uno di questi approcci è migliore dell'altro o questo dipende dal caso?

Spero che i miei dubbi siano chiari e sarei felice se si potesse dare un po 'di letteratura (ho letto alcuni articoli sul tema, ma di più è meglio!)

Grazie in anticipo!

1) Potresti pensare a questo metodo come ad un approccio di camminata casuale. Quando la distribuzione della proposta , viene comunemente definita algoritmo di Metropolis. Se σ 2 è troppo piccolo, avrai un alto tasso di accettazione ed esplorerai molto lentamente la distribuzione target. Infatti, se σ 2 è troppo piccolo e la distribuzione è multimodale, il campionatore potrebbe rimanere bloccato in una modalità particolare e non sarà in grado di esplorare completamente la distribuzione target. D'altra parte, se σ $x \mid x^t \sim N( x^t, \sigma^2)$$\sigma^2$$\sigma^2$$\sigma^2$è troppo grande, il tasso di accettazione sarà troppo basso. Poiché hai tre dimensioni, la distribuzione della tua proposta avrebbe una matrice di covarianza che probabilmente richiederà varianze e covarianze diverse per ogni dimensione. Scegliere un Σ appropriato può essere difficile.$\Sigma$$\Sigma$

2) Se la distribuzione della tua proposta è sempre , questo è l'algoritmo Metropolis-Hastings indipendente poiché la distribuzione della tua proposta non dipende dal tuo campione attuale. Questo metodo funziona meglio se la distribuzione della tua proposta è una buona approssimazione della distribuzione target da cui desideri campionare. Hai ragione a dire che scegliere una buona approssimazione normale può essere difficile.$N(\mu, \sigma^2)$

Il successo di nessuno dei due metodi dovrebbe dipendere dal valore iniziale del campionatore. Indipendentemente da dove inizi, la catena Markov dovrebbe eventualmente convergere nella distribuzione target. Per verificare la convergenza, è possibile eseguire diverse catene da diversi punti di partenza ed eseguire una diagnostica di convergenza come la diagnostica di convergenza Gelman-Rubin.