Espressione in forma chiusa per la distribuzione della curtosi campionaria della distribuzione gaussiana

Esiste un'espressione a forma chiusa per la distribuzione della Kurtosi campionaria dei dati campionati dalla distribuzione gaussiana? vale a dire,

$P(\hat{K}<a)$ dove è la kurtosi del campione.$\hat{K}$

L'esatta distribuzione del campionamento è difficile da derivare; ci sono stati i primi momenti (risalenti al 1929), varie approssimazioni (risalenti ai primi anni '60) e tabelle, spesso basate sulla simulazione (risalenti agli anni '60).

Per essere più specifici:

Fisher (1929) fornisce momenti della distribuzione campionaria dell'asimmetria e della curtosi in campioni normali, e Pearson (1930) (anche) fornisce i primi quattro momenti della distribuzione campionaria dell'asimmetria e della curtosi e propone test basati su di essi.

Quindi ad esempio :$^*$

$E(b_2)=\frac{3(n-1)}{n+1}$

$\text{Var}(b_2)=\frac{24n(n-2)(n-3)}{(n+1)^2(n+3)(n+5)}$

L' di è$b_2$$\frac{216}{n}(1-\frac{29}{n}+\frac{519}{n^2}-\frac{7637}{n^3}+\ldots)$

L'eccesso di curtosi di è .$b_2$$\frac{540}{n}-\frac{20196}{n^2}+\frac{470412}{n^3}+\ldots$

* Attenzione: i valori per i momenti e così via dipendono dalla definizione esatta della kurtosi campione utilizzata. Se vedi una formula diversa per o , ad esempio, sarà generalmente a causa di una definizione leggermente diversa di kurtosi del campione.$E(b_2)$$\text{Var}(b_2)$

In questo caso, le formule sopra dovrebbero applicarsi a .$b_2=n\frac{\sum_i (X_i-\bar X)^4}{(\sum_i (X_i-\bar X)^2)^2}$

Pearson (1963) discute dell'approssimazione della distribuzione campionaria della curtosi in campioni normali mediante una distribuzione Pearson di tipo IV o Johnson (senza dubbio il motivo per cui i primi quattro momenti furono dati tre decenni prima era in gran parte possibile per utilizzare la famiglia Pearson) .$S_U$

Pearson (1965) fornisce tabelle per percentili di curtosi per alcuni valori di .$n$

D'Agostino e Tietjen (1971) forniscono tabelle più ampie di percentili per curtosi.

D'Agostino e Pearson (1973) forniscono grafici dei punti percentuali di curtosi che coprono nuovamente una gamma più ampia di casi.

Fisher, RA (1929),
"Momenti e momenti del prodotto delle distribuzioni campionarie",
Atti della London Mathematical Society , Serie 2, 30: 199-238.

Pearson, ES, (1930)
"Un ulteriore sviluppo di test per la normalità" ,
Biometrika , 22 (1-2), 239-249.

Pearson, ES (1963)
"Alcuni problemi derivanti dall'approssimazione alle distribuzioni di probabilità, usando i momenti" ,
Biometrika , 50 , 95-112

Pearson, ES (1965)
"Tabelle dei punti percentuali di e in campioni normali: un arrotondamento," Biometrika , 52 , 282-285$\sqrt{b_1}$$b_2$

D'Agostino, RB e Tietjen, GL (1971),
"Punti di probabilità di simulazione di per piccoli campioni" , Biometrika , 58 , 669-672.$b_2$

D'Agostino, RB e Pearson, ES (1973),
"Test per allontanarsi dalla normalità. Risultati empirici per la distribuzione di e ," Biometrika , 60 , 613-622.$b_2$$\sqrt{b_1}$

La kurtosi del campione da un campione normale, è approssimativamente distribuita come una media a media zero con varianza , dove è la dimensione del campione (naturalmente, maggiore è migliore è l'approssimazione. Le espressioni più complicate per la varianza possono essere trovato nella pagina di Wikipedia ). Per campioni gaussiani di piccole dimensioni (<40), i percentili sono stati derivati ​​in questo documento: Lacher, DA (1989). Distribuzione campionaria di asimmetria e curtosi. Chimica clinica, 35 (2), 330-331.n $\approx 24/n$$n$$n$