Comprensione della forma e del calcolo delle bande di confidenza nella regressione lineare

Sto cercando di capire l'origine della forma curva delle bande di confidenza associate a una regressione lineare OLS e come si relaziona agli intervalli di confidenza dei parametri di regressione (pendenza e intercetta), ad esempio (usando R):

require(visreg)
fit <- lm(Ozone ~ Solar.R,data=airquality)
visreg(fit)

Sembra che la banda sia correlata ai limiti delle linee calcolate con l'intercettazione del 2,5% e la pendenza del 97,5%, nonché con l'intercettazione del 97,5% e la pendenza del 2,5% (anche se non del tutto):

xnew <- seq(0,400)
int <- confint(fit)
lines(xnew, (int[1,2]+int[2,1]*xnew))
lines(xnew, (int[1,1]+int[2,2]*xnew))

Quello che non capisco sono due cose:

1. Che dire della combinazione di pendenza del 2,5% e intercettazione del 2,5% nonché pendenza del 97,5% e intercettazione del 97,5%? Questi danno linee chiaramente al di fuori della banda tracciata sopra. Forse non capisco il significato di un intervallo di confidenza, ma se nel 95% dei casi le mie stime rientrano nell'intervallo di confidenza, queste sembrano un possibile risultato?
2. Cosa determina la distanza minima tra il limite superiore e inferiore (ovvero vicino al punto in cui le due linee aggiunte sopra intercettano)?

Immagino che entrambe le domande sorgano perché non so / capisco come vengono effettivamente calcolate queste bande.

Come posso calcolare i limiti superiore e inferiore usando gli intervalli di confidenza dei parametri di regressione (senza fare affidamento su predict () o una funzione simile, cioè a mano)? Ho provato a decifrare la funzione predict.lm in R, ma la codifica è oltre me. Gradirei qualsiasi suggerimento per la letteratura pertinente o spiegazioni adatte per i principianti delle statistiche.

Grazie.

$X$$s_{\hat{Y}_{X}}$

$s_{\hat{Y}_{X}} = s_{Y|X}\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{\left(X-\bar{X}\right)^{2}}{\sum_{i=1}^{n}{\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}}}}$

$s_{Y|X}$

$s_{Y|X} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}{\left(Y_{i}-\hat{Y}\right)^{2}}}{n-2}}$

$\hat{Y} \pm t_{\nu=n-2, \alpha/2}s_{\hat{Y}}$

$Y$$X$

$\hat{\beta}$$\hat{\alpha}$

Bella domanda È importante capire questi concetti e non sono semplici.

$\bar y$$\bar y$$\bar y$

Quando uniamo tutti gli intervalli di confidenza, per ogni possibile x, ci danno le bande grigie che vedi nell'output.

Ciò significa funzionalmente che siamo sicuri al 95% che la vera linea di regressione si trova da qualche parte in quella zona grigia.

Poiché le fasce di confidenza vengono calcolate utilizzando gli intervalli di confidenza al 95% per ogni singolo punto, è strettamente correlato all'IC del 95% per l'intercetta. In effetti, a x = 0 i bordi della zona grigia coincideranno esattamente con l'IC 95% per l'intercettazione, perché è così che abbiamo generato le bande di confidenza. Ecco perché le linee che hai aggiunto sopra colpiscono il bordo della banda grigia verso sinistra.

Tuttavia, la pendenza è leggermente diversa. Contribuisce ai limiti, come hai visto sopra, ma la pendenza e l'intercettazione non sono separabili in una regressione lineare. Quindi, non puoi davvero dire "beh, e se l'intercettazione fosse al minimo dell'intervallo CI e anche la pendenza fosse al minimo?" Questa linea genererebbe punti che sono ben al di fuori del nostro IC al 95% per molte x. Ciò significa che siamo sicuri al 95% che non sia la nostra vera linea di regressione.

$\bar x$$s_{{\hat y}_x}$$(x - \bar x)$$x = \bar x$

C'è un powerpoint decente qui che può aiutarti a visualizzare alcune di queste cose: http://www.stat.duke.edu/~tjl13/s101/slides/unit6lec3H.pdf