Viene lanciata una moneta giusta fino a quando una testa non sale per la prima volta. La probabilità che ciò accada con un lancio di numeri dispari è? Come posso affrontare questo problema?
Viene lanciata una moneta giusta fino a quando una testa non sale per la prima volta. La probabilità che ciò accada con un lancio di numeri dispari è? Come posso affrontare questo problema?
Risposte:
Aggiungi le probabilità della moneta che esce testa per la prima volta al lancio 1, 3, 5 ...
Il termine è abbastanza ovvio, è la probabilità che il primo lancio sia testa.
Il termine è la probabilità di ottenere teste per la prima volta al terzo lancio, o la sequenza TTH. Quella sequenza ha una probabilità di .
Il termine è la probabilità di ottenere teste per la prima volta al quinto lancio, o la sequenza TTTTH. Quella sequenza ha una probabilità di .
Ora possiamo riscrivere la serie sopra come
Questa è una serie geometrica che si somma a . Il modo più semplice per dimostrarlo è con un esempio visivo. Inizia con la serie
Questa è una serie geometrica che si somma a .
Se sommiamo solo i termini pari di quella serie, possiamo vedere che si sommano a .
Se elimini i termini pari da tutta la sequenza, rimarrai solo con i termini dispari, che devono aggiungere fino a .
Pensa in modo ricorsivo: lascia che sia la probabilità della prima testa su un lancio dispari e lascia che sia la probabilità della prima testa su un tiro pari. Ora , e abbiamo anche che uguale alla probabilità di code del primo lancio volte . Quindi ; ; .p e p o + p e = 1 p e p o p e = 1 / 2 ⋅ p o p o + 1 / 2 ⋅ p o = 1 p o = 2 / 3
self-study
tag. Vedi stats.stackexchange.com/tags/self-study/info