Viene lanciata una moneta giusta fino a quando una testa non sale per la prima volta. La probabilità che ciò accada con un lancio di numeri dispari è?


10

Viene lanciata una moneta giusta fino a quando una testa non sale per la prima volta. La probabilità che ciò accada con un lancio di numeri dispari è? Come posso affrontare questo problema?


4
Sembra una tipica domanda di compiti a casa / studio personale e come tale dovrebbe avere il self-studytag. Vedi stats.stackexchange.com/tags/self-study/info
Patrick Coulombe,

Risposte:


19

Aggiungi le probabilità della moneta che esce testa per la prima volta al lancio 1, 3, 5 ...

po=1/2+1/23+1/25+...

  • Il termine è abbastanza ovvio, è la probabilità che il primo lancio sia testa.1/2

  • Il termine è la probabilità di ottenere teste per la prima volta al terzo lancio, o la sequenza TTH. Quella sequenza ha una probabilità di .1/231/21/21/2

  • Il termine è la probabilità di ottenere teste per la prima volta al quinto lancio, o la sequenza TTTTH. Quella sequenza ha una probabilità di .1/251/21/21/21/21/2

Ora possiamo riscrivere la serie sopra come

po=1/2+1/8+1/32+...

Questa è una serie geometrica che si somma a . Il modo più semplice per dimostrarlo è con un esempio visivo. Inizia con la serie2/3

p=1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+...

Questa è una serie geometrica che si somma a .1

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + ... = 1

Se sommiamo solo i termini pari di quella serie, possiamo vedere che si sommano a .1/3

1/4+1/16+1/64+1/256+...=1/3

1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ... = 1/3

Se elimini i termini pari da tutta la sequenza, rimarrai solo con i termini dispari, che devono aggiungere fino a .2/3

po=1/2+1/8+1/32+...=2/3


11

Pensa in modo ricorsivo: lascia che sia la probabilità della prima testa su un lancio dispari e lascia che sia la probabilità della prima testa su un tiro pari. Ora , e abbiamo anche che uguale alla probabilità di code del primo lancio volte . Quindi ; ; .p e p o + p e = 1 p e p o p e = 1 / 2 p o p o + 1 / 2 p o = 1 p o = 2 / 3popepo+pe=1pepope=1/2popo+1/2po=1po=2/3


Potresti per favore espandere su "... abbiamo anche che pe equivale alla probabilità di code di lancio prima di po."?
MackM,
Utilizzando il nostro sito, riconosci di aver letto e compreso le nostre Informativa sui cookie e Informativa sulla privacy.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.