Integrazione di un CDF empirico

Ho una distribuzione empirica . Lo calcolo come segue$G(x)$

    x <- seq(0, 1000, 0.1)
    g <- ecdf(var1)
    G <- g(x)

Indico , ovvero è il pdf mentre è il cdf.$h(x) = dG/dx$$h$$G$

Ora voglio risolvere un'equazione per il limite superiore di integrazione (diciamo ), in modo tale che il valore atteso di sia di qualche .$a$$x$$k$

Cioè, integrando da a , dovrei avere . Voglio risolvere per .$0$$b$$\int xh(x)dx = k$$b$

Integrando per parti, posso riscrivere l'equazione come

$bG(b) - \int_0^b G(x)dx = k$ , dove l'integrale è compreso tra e ------- (1)$0$$b$

Penso di poter calcolare l'integrale come segue

    intgrl <- function(b) {
        z <- seq(0, b, 0.01)
        G <- g(z)
        return(mean(G))
     }

Ma quando provo ad usare questa funzione con

    library(rootSolve)
    root <- uniroot.All(fun, c(0, 1000))

dove fun is eq (1), ottengo il seguente errore

    Error in seq.default(0, b, by = 0.01) : 'to' must be of length 1  

Penso che il problema sia che la mia funzione intgrlviene valutata a un valore numerico, mentre uniroot.Allpassa l'intervalloc(0,1000)

Come devo risolvere in questa situazione in R?$b$

Lascia che i dati ordinati siano . Per comprendere il CDF empirico , considera uno dei valori di favore chiamalo - e supponi che un certo numero di sia minore di e di sia uguale a . Scegli un intervallo in cui, di tutti i possibili valori dei dati, appare solo . Quindi, per definizione, all'interno di questo intervallo ha il valore costante per i numeri inferiori a G x i γ k x i γ t ≥ 1 x i γ [ α , β ] γ G k / n γ ( k + t ) / n $x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_n$$G$$x_i$$\gamma$$k$$x_i$$\gamma$$t \ge 1$$x_i$$\gamma$$[\alpha, \beta]$$\gamma$$G$$k/n$$\gamma$e passa al valore costante per numeri maggiori di .$(k+t)/n$$\gamma$

Considera il contributo a dell'intervallo . Sebbene non sia una funzione - è una misura in punti della dimensione in - l'integrale è definito mediante l'integrazione di parti per convertirlo in un integrale onesto in bontà. Facciamo questo nell'intervallo :h t / n γ [ α , β $\int_0^b x h(x) dx$$[\alpha,\beta]$$h$$t/n$$\gamma$$[\alpha,\beta]$

$$\int_\alpha^\beta x h(x) dx = \left(x G(x)\right)\vert_\alpha^\beta - \int_\alpha^\beta G(x) dx = \left(\beta G(\beta) - \alpha G(\alpha)\right) -\int_\alpha^\beta G(x) dx.$$

Il nuovo integrando, sebbene sia discontinuo in , è integrabile. Il suo valore si trova facilmente rompendo il dominio di integrazione nelle parti precedenti e seguendo il salto in :$\gamma$$G$

$$\int_\alpha^\beta G(x)dx = \int_\alpha^\gamma G(\alpha) dx + \int_\gamma^\beta G(\beta) dx = (\gamma-\alpha)G(\alpha) + (\beta-\gamma)G(\beta).$$

Sostituendo questo nel precedente e ricordando i rendimenti$G(\alpha)=k/n, G(\beta)=(k+t)/n$

$$\int_\alpha^\beta x h(x) dx = \left(\beta G(\beta) - \alpha G(\alpha)\right) - \left((\gamma-\alpha)G(\alpha) + (\beta-\gamma)G(\beta)\right) = \gamma\frac{t}{n}.$$

In altre parole, questo integrale moltiplica la posizione (lungo l' asse ) di ciascun salto per la dimensione di quel salto. La dimensione del salto è$X$

$$\frac{t}{n} = \frac{1}{n} + \cdots + \frac{1}{n}$$

con un termine per ciascuno dei valori dei dati che equivale a . L'aggiunta dei contributi da tutti questi salti di dimostra$\gamma$$G$

$$\int_0^b x h(x) dx = \sum_{i:\, 0 \le x_i \le b} \left(x_i\frac{1}{n}\right) = \frac{1}{n}\sum_{x_i\le b}x_i.$$

Potremmo chiamarlo "media parziale", visto che equivale a volte una somma parziale. (Si prega di notare che si tratta non è un'aspettativa Può essere collegato con l'attesa di una versione della distribuzione di fondo che è stato troncato all'intervallo. : è necessario sostituire la fattore per il , dove è il numero di valori di dati all'interno di .)$1/n$$[0,b]$$1/n$$1/m$$m$$[0,b]$

Dato , desideri trovare per cuiPoiché le somme parziali sono un insieme finito di valori, di solito non c'è soluzione: dovrai accontentarti della migliore approssimazione, che può essere trovata tra parentesi tra due medie parziali, se possibile. Cioè, trovando tale$k$$b$k$\frac{1}{n}\sum_{x_i\le b}x_i = k.$$k$$j$

$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{j-1} x_i \le k \lt \frac{1}{n}\sum_{i=1}^j x_i,$$

avrai ristretto all'intervallo . Non puoi fare di meglio usando ECDF. (Adattando una distribuzione continua all'ECDF è possibile interpolare per trovare un valore esatto di , ma la sua precisione dipenderà dalla precisione dell'adattamento .)[ x j - 1 , x j ) $b$$[x_{j-1}, x_j)$$b$

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Resegue il calcolo della somma parziale con cumsume trova il punto in cui attraversa qualsiasi valore specificato utilizzando la whichfamiglia di ricerche, come in:

set.seed(17)
k <- 0.1
var1 <- round(rgamma(10, 1), 2)
x <- sort(var1)
x.partial <- cumsum(x) / length(x)
i <- which.max(x.partial > k)
cat("Upper limit lies between", x[i-1], "and", x[i])

L'output in questo esempio di dati estratti da una distribuzione esponenziale è

Il limite superiore è compreso tra 0,39 e 0,57

Il valore vero, risolvendo è . La sua vicinanza ai risultati riportati suggerisce che questo codice è accurato e corretto. (Le simulazioni con set di dati molto più grandi continuano a supportare questa conclusione).$0.1 = \int_0^b x \exp(-x)dx,$$0.531812$

Ecco un diagramma del CDF empirico per questi dati, con i valori stimati del limite superiore mostrati come linee grigie tratteggiate verticali:$G$