Perché le variabili casuali sono definite come funzioni?

Sto riscontrando problemi nel comprendere il concetto di una variabile casuale come funzione. Capisco la meccanica (penso) ma non capisco la motivazione ...

Dire è una tripla di probabilità, dove , è l'algebra di Borel- su quell'intervallo e è la normale misura di Lebesgue. Sia una variabile casuale da a tale che , , ..., , quindi ha una distribuzione uniforme discreta sui valori da 1 a 6. Ω = [ 0 , 1 ] B σ P X B { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } X ( [ 0 , 1 / 6 ) ) = 1 X ( [ 1 / 6 , 2 / 6 ) ) = 2 x ( $(\Omega, B, P)$$\Omega = [0,1]$$B$$\sigma$$P$$X$$B$$\{1,2,3,4,5,6\}$$X([0,1/6)) = 1$$X([1/6,2/6)) = 2$$X([5/6,1]) = 6$$X$

Va bene, ma non capisco la necessità della tripla probabilità originale ... avremmo potuto costruire direttamente qualcosa di equivalente come dove è tutta l'appropriata -algebra dello spazio e è una misura che assegna a ciascun sottoinsieme la misura (# di elementi) / 6. Inoltre, la scelta di era arbitraria-- avrebbe potuto essere o qualsiasi altro set.S σ P x Ω = [ 0 , 1 ] [ 0 , 2 $(\{1,2,3,4,5,6\}, S, P_x)$$S$$\sigma$$P_x$$\Omega=[0,1]$$[0,2]$

Quindi la mia domanda è: perché preoccuparsi di costruire un arbitrario con un -algebra e una misura e definire una variabile casuale come una mappa dal -algebra alla linea reale? σ $\Omega$$\sigma$$\sigma$

Se ti stai chiedendo perché tutto questo macchinario viene utilizzato quando potrebbe essere sufficiente qualcosa di molto più semplice, hai ragione, per le situazioni più comuni. Tuttavia, la versione teorica della misura della probabilità è stata sviluppata da Kolmogorov allo scopo di stabilire una teoria di tale generalità da poter gestire, in alcuni casi, spazi di probabilità molto astratti e complicati. In effetti, le basi teoriche di misura di Kolmogorov per la probabilità alla fine hanno consentito di applicare strumenti probabilistici ben oltre il loro dominio di applicazione originale previsto in aree come l'analisi armonica.

All'inizio sembra più semplice saltare qualsiasi "sottostante" -algebra Ω , e semplicemente assegnare masse di probabilità agli eventi che comprendono direttamente lo spazio del campione, come hai proposto. In effetti, i probabilisti fanno effettivamente la stessa cosa ogni volta che scelgono di lavorare con la "misura indotta" sullo spazio campione definito da P ∘ X - 1 . Tuttavia, le cose iniziano a diventare difficili quando inizi a entrare in spazi dimensionali infiniti. Supponiamo che tu voglia provare la Legge forte dei grandi numeri per il caso specifico di lanciare monete giuste (cioè che la proporzione di teste tende arbitrariamente vicino a 1/2 mentre il numero di gettoni di monete va all'infinito). Potresti provare a costruire un $\sigma$$\Omega$$P \circ X^{-1}$$\sigma$-algebra sul set di sequenze infinite di forma . Ma qui può scoprire che è molto più conveniente considerare lo spazio sottostante come Ω = [ 0 , 1 ) ; e quindi utilizzare le rappresentazioni binarie di numeri reali (ad es. 0,10100 ... ) per rappresentare sequenze di lanci di monete (1 essendo teste, 0 essendo code.) Un'illustrazione di questo esempio può essere trovata nei primi capitoli della Probabilità di Billingsley e Misura .$(H,T,H,...)$$\Omega = [0,1)$$0.10100...$

I problemi riguardanti le algebre sono sottigliezze matematiche, che non spiegano veramente perché o se abbiamo bisogno di uno spazio di fondo . Anzi, direi che non ci sono prove convincenti che lo spazio sullo sfondo sia una necessità. Per qualsiasi impostazione probabilistica ( E , E , μ ) dove E è lo spazio campionario, E la σ -algebra e μ una misura di probabilità, l'interesse è in μ , e non c'è ragione astratta che vogliamo μ essere la misura dell'immagine di una mappa misurabile X : ( Ω , $\sigma$$(E, \mathbb{E}, \mu)$$E$$\mathbb{E}$$\sigma$$\mu$$\mu$$\mu$ .$X : (\Omega, \mathbb{B}) \to (E, \mathbb{E})$

Tuttavia, l'uso di uno spazio di sfondo astratto offre una comodità matematica che rende molti risultati più naturali e intuitivi. L'obiettivo è sempre quello di dire qualcosa su , la distribuzione di X , ma può essere più facile e più chiaramente espresso in termini di X .$\mu$$X$$X$

Un esempio è dato dal teorema del limite centrale. Se sono iid reali valutati con media μ e varianza σ 2 il CLT dice che P ( $X_1, \ldots, X_n$$\mu$$\sigma^2$ doveΦè la funzione di distribuzione per la distribuzione normale standard. Se la distribuzione diXièμ,il risultato corrispondente in termini di misura indica ρ

$$P\left(\frac{\sqrt{n}}{\sigma} \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i - \xi\right) \leq x \right) \to \Phi(x)$$ $\Phi$$X_i$$\mu$ È necessaria una spiegazione della terminologia. Perμ∗nintendiamo laconvoluzionen-volte diμ(la distribuzione della somma). Le funzioniρcsono le funzioni lineariρc(x)=cxe $$\rho_{\sqrt{n}/\sigma} \circ \tau_{\xi} \circ \rho_{1/n}(\mu^{*n})((-\infty, x]) \to \Phi(x)$$ $\mu^{*n}$$n$$\mu$$\rho_c$$\rho_c(x) = cx$ è la traduzione τ ξ ( x ) = x - ξ . Probabilmente ci si potrebbe abituare alla seconda formulazione, ma fa un buon lavoro nel nascondere di cosa si tratta.$\tau_{\xi}$$\tau_{\xi}(x) = x - \xi$

Ciò che sembra essere il problema è che le trasformazioni aritmetiche coinvolte nel CLT sono chiaramente espresse in termini di variabili casuali ma non si traducono così bene in termini di misure.

Di recente mi sono imbattuto in questo nuovo modo di pensare alla variabile casuale e allo spazio di sfondo Ω . Non sono sicuro che questa sia la domanda che stavi cercando, in quanto non è un motivo matematico, ma penso che fornisca un modo molto semplice di pensare ai camper.$X$$\Omega$

Immagina una situazione in cui lanciamo una moneta. Questa configurazione sperimentale consiste in un insieme di possibili condizioni iniziali che includono la descrizione fisica di come viene lanciata la moneta. Lo spazio di sfondo è costituito da tutte quelle possibili condizioni iniziali. Per ragioni di semplicità, potremmo supporre che i lanci di monete variano solo in velocità, quindi impostiamo $\Omega = [0,v_{max}]$

La variabile casuale può quindi essere pensata come una funzione che mappa ogni stato iniziale ω ∈ Ω con il corrispondente risultato dell'esperimento, cioè se si tratta di code o testa.$X$$\omega \in \Omega$

Per il camper: la misura Q corrisponderebbe quindi alla misura di probabilità sulle condizioni iniziali, che insieme alla dinamica dell'esperimento rappresentato da $X:([0,v_{max}], B\cap [0,v_{max}], Q)\to (\{0,1\}, 2^{\{0,1\}})$$Q$$X$ determina la distribuzione della probabilità sugli esiti.

Per riferimento a questa idea puoi guardare i capitoli di Tim Maudlin o Micheal Strevens in "Probabilties in Physics" (2011)