Qual è la distribuzione del rapporto tra due variabili casuali di Poisson?

Ho una domanda relativa alle variabili casuali. Supponiamo di avere due variabili casuali e . Diciamo che è Poisson distribuito con il parametro e è Poisson distribuito con il parametro $X$ $Y$ $X$ $\lambda_1$ $Y$ $\lambda_2$ .

Quando costruisci la frattura da $X/Y$ e la chiami variabile casuale $Z$ , come viene distribuita e qual è la media? È $\lambda_1/\lambda_2$ ?

random-variable poisson-distribution

— MarkDollar
fonte

Mi è capitato di imbattermi in questo quando cercavo riferimenti. L'inferenza per il rapporto di Poisson è piuttosto semplice, per i frequentatori ( Nelson, 1970, "Intervalli di confidenza per il rapporto tra due mezzi di Poisson e intervalli di predittore di Poisson" ) e Bayesiani allo stesso modo (Lindley, 1965). Nessun problema con zero denominatori!

— Frank Tuyl,

L'interrogatore originale e altri potrebbero essere interessati a notare che

ha un valore di aspettativa

. A seconda dell'applicazione questo può essere utile maggiore di

. Per maggiori dettagli vedi il mio articolo nel Journal of Analytical Atomic Spectrometry, 28 , 52, chiamato "Distorsione statistica nei rapporti isotopici" w / DOI: 10.1039 / C2JA10205F.

X / (Y + 1)

$X/(Y+1)$

(λ_{1} / λ_{2}) (1 - e^{- λ_{2}})

$(\lambda_1/\lambda_2) (1-e^{-\lambda_2})$

X / Y

$X/Y$

Questo è un problema frequentemente riscontrato in Astronomia. La soluzione bayesiana è stata elaborata da Park et al. (2006, Astrophysical Journal, v652, 610-628, stima bayesiana dei rapporti di durezza: modellizzazione e calcoli ). Includono contaminazione di fondo nel loro trattamento.

— user78543

Dall'abstract non è ovvio che stiano affrontando la domanda del PO. In che modo questo documento si collega alla distribuzione del rapporto tra due variabili casuali di Poisson?

— Andy,

ttu-ir.tdl.org/ttu-ir/bitstream/handle/2346/59954/…

— kjetil b halvorsen

Risposte:

Penso che avrai un problema con quello. Poiché la variabile Y avrà zero, X / Y avrà alcuni valori indefiniti in modo da non ottenere una distribuzione.

— bill_080
fonte

+1 Esatto. Ma (per evitare possibili confusioni) il problema non è solo che

può eguagliare

: è che può eguagliare

con probabilità positiva. (Ad esempio, un quoziente di normali ha una distribuzione anche se il denominatore può essere uguale a

). Pertanto,

non è definito con probabilità positiva, rendendo anche la sua media (e qualsiasi altro momento) indefinita.

Y

$Y$

0

$0$

0

$0$

0

$0$

X / Y

$X/Y$

— whuber

+1, ma nella letteratura sui tassi di falsa scoperta le persone non hanno problemi con

cui

è i veri positivi e

è il numero totale di positivi :-). Resta sempre inteso, per convenzione, che 0 su 0 è uguale a 0.

X / Y

$X/Y$

X

$X$

Y

$Y$

— NRH,

@Mark: Probabilmente è meglio porlo come una nuova domanda e ottenere un reale specifico su ciò che stai cercando di ottenere.

— bill_080,

@NRH Nel tuo caso v'è una forte dipendenza di

. Ciò cambia completamente le cose, perché ora la probabilità di un rapporto positivo: zero è nulla.

X

$X$

Y

$Y$

— whuber

@whuber, certo che è vero. Grazie per la segnalazione. Stavo solo pensando che forse c'era qualche convenzione non dichiarata per rendere significativo il problema. Ma dal commento di @ MarkDollar sopra sembra che non fosse il caso di cominciare.

— NRH,

Realizzando che il rapporto non è in realtà un insieme misurabile ben definito, ridefiniamo il rapporto come un insieme misurabile correttamente dove la somma segue fintanto cheeesono variabili indipendenti di Poisson. La densità segue dal teorema di Radon-Nykodym.

P [\frac{X}{Y} \leq r] : = P [X \leq r Y] = Σ_{y = 0}^{\infty} Σ_{X = 0}^{⌊ r y ⌋} \frac{λ_{2}^{y}}{y!} e^{- λ_{2}} \frac{λ_{1}^{X}}{X!} e^{- λ_{1}}

$\mathbb{P}\left[\frac{X}{Y} \leq r \right] := \mathbb{P}\left[X \leq r Y\right]\\ = \sum_{y = 0}^\infty \sum_{x=0}^{\left\lfloor ry \right\rfloor} \frac{\lambda_{2}^y }{y!}e^{-\lambda_2} \frac{\lambda_{1}^x }{x!}e^{-\lambda_1}$

r > 0

$r > 0$

X

$X$

Y

$Y$

— Aaron Sheldon
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Supponiamo che

provenga da una distribuzione di Poisson troncata zero. La risposta sarebbe quindi:

Y

$Y$

— Brash Equilibrium,