Perché non usare la distribuzione T per stimare la media quando il campione è grande?

I corsi di statistica di base spesso suggeriscono di utilizzare una distribuzione normale per stimare la media di un parametro di popolazione quando la dimensione del campione n è grande (in genere oltre 30 o 50). La distribuzione a T dello studente viene utilizzata per campioni di dimensioni inferiori per tenere conto dell'incertezza nella deviazione standard del campione. Quando la dimensione del campione è grande, la deviazione standard del campione fornisce buone informazioni sulla deviazione standard della popolazione, consentendo una stima della distribuzione normale. Capisco quello.

Ma perché usare un preventivo quando puoi ottenere esattamente il tuo intervallo di confidenza? Indipendentemente dalle dimensioni del campione, che senso ha usare la distribuzione normale se è solo una stima di qualcosa che puoi ottenere esattamente con la distribuzione T?

Giusto per chiarire in relazione al titolo, non stiamo usando la distribuzione t per stimare la media (nel senso di una stima puntuale almeno), ma per costruirne un intervallo.

Ma perché usare un preventivo quando puoi ottenere esattamente il tuo intervallo di confidenza?

È una buona domanda (fintanto che non insistiamo troppo su "esattamente", dal momento che i presupposti per la sua esatta distribuzione non saranno validi).

"È necessario utilizzare la tabella di distribuzione t quando si verificano problemi di funzionamento quando la deviazione standard della popolazione (σ) non è nota e la dimensione del campione è piccola (n <30)"

Perché le persone non usano la distribuzione T per tutto il tempo quando la deviazione standard della popolazione non è nota (anche quando n> 30)?

Considero il consiglio come - nella migliore delle ipotesi - potenzialmente fuorviante. In alcune situazioni, la distribuzione a T dovrebbe ancora essere usata quando i gradi di libertà sono molto più grandi di così.

Dove il normale è un'approssimazione ragionevole dipende da una varietà di cose (e quindi dipende dalla situazione). Tuttavia, poiché (con i computer) non è affatto difficile usare solo $t$ , anche se i df sono molto grandi, dovresti chiederti perché è necessario preoccuparsi di fare qualcosa di diverso in n = 30.

Se le dimensioni del campione sono davvero grandi, non farà alcuna differenza evidente in un intervallo di confidenza, ma non credo che n = 30 sia sempre sufficientemente vicino a "veramente grande".

C'è una circostanza in cui potrebbe avere senso usare il normale piuttosto che la $t$ - è allora che i tuoi dati chiaramente non soddisfano le condizioni per ottenere una distribuzione t, ma puoi ancora discutere per la normalità approssimativa della media (se $n$ è abbastanza grande). Tuttavia, in tali circostanze, spesso la t rappresenta in pratica una buona approssimazione e può essere in qualche modo "più sicura". [In una situazione del genere, potrei essere propenso a indagare tramite simulazione.]

È un anacronismo storico. Ce ne sono molti nelle statistiche.

Se non avevi un computer, era difficile usare la distribuzione t, e molto più facile usare una distribuzione normale. Una volta che la dimensione del campione diventa grande, le due distribuzioni diventano simili (quanto grande è "grande" è un'altra domanda).

$e^{-x^2}$$n \rightarrow \infty$