Come sviluppare l'intuizione per la probabilità condizionata?

Nelle lezioni video di Harvard's Statistics 110: corso di probabilità che si possono trovare su iTunes e YouTube, ho riscontrato questo problema. Ho provato a sintetizzarlo qui:

Supponiamo che ci venga data una mano casuale di due carte da un mazzo standard.

1. Qual è la probabilità che entrambe le carte siano assi dato che abbiamo almeno un asso?

$$P(both\ aces | have\ ace) = \frac{P(both\ aces, have\ ace)}{P(have\ ace)}$$

Dato che avere almeno un asso è implicito se si hanno entrambi gli assi, l'intersezione può essere ridotta a solo $P(both\ aces)$

$$P(both\ aces | have\ ace) = \frac{P(both\ aces)}{P(have\ ace)}$$

Questo è quindi giusto

$$P(both\ aces | have\ ace) = \frac{4C2\ /\ 52C2}{1-48C2\ /\ 52C2}=\frac{1}{33}$$

2. Qual è la probabilità che entrambe le carte siano assi dato che abbiamo l'asso di picche?

$$P(both\ aces | have\ ace\ of\ spades)=\frac{P(both\ aces, have\ ace\ of\ spades)}{P(have\ ace\ of\ spades)}$$

$$P(both\ aces | have\ ace\ of\ spades)=\frac{(3C1*1C1)\ /\ 52C2}{2!*\frac{51}{52}*\frac{1}{51}}=\frac{1}{17}$$

Ora, da qualche parte lungo questi esempi mi sono perso ...

Quest'ultimo è ovviamente uguale a , il che ha molto senso (per me) che questa sarebbe la risposta. Se ti viene detto che hai l'asso di (diciamo) picche, allora sai che ci sonoaltri3assi ealtre51carte.$\frac{3}{51}$$3$$51$

Ma nel primo esempio, la matematica sembra andare bene (e credo che il docente non darebbe questo esempio se fosse errato ...), ma non posso avvolgere la mia testa su questo.

Come ottengo qualche intuizione per questo problema?

Per aiutare l'intuizione, considera di visualizzare due eventi (serie di risultati):

1. L'evento di condizionamento, che è l'informazione fornita.

2. L'evento condizionato, di cui vorresti trovare la probabilità.

La probabilità condizionale si trova dividendo la possibilità del secondo per il caso del primo.

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Ci sono modi altrettanto probabili di distribuire due carte a caso. Un modo conveniente per visualizzare queste offerte è disporle in un tavolo con righe (diciamo) che designano la prima carta distribuita e colonne la seconda carta nell'affare. Ecco una parte di questa tabella, con ellissi ( ⋯ ) che designano le parti mancanti. Si noti che poiché le due carte non possono essere uguali, non esistono voci lungo la diagonale principale del tavolo. Le righe e le colonne sono ordinate dagli assi ai re:$52 \times 51$$\cdots$

Le domande si concentrano sugli assi. L'informazione "abbiamo almeno un asso" individua la coppia all'interno delle prime quattro righe o delle prime quattro colonne. Nella nostra mente possiamo visualizzarlo schematicamente colorando queste righe e colonne. Li ho colorati di rosso, ma dove appaiono entrambi gli assi li ho colorati di nero:

$2\times 6 = 12$$2\times (4\times 48) = 384$$12+384=396$

$$\frac{12}{396} = \frac{1}{33}.$$

È la frazione nera della regione rossa + nera.

La seconda domanda afferma "abbiamo l'asso di picche". Ciò corrisponde solo alla prima riga e colonna:

$2\times 3 = 6$$2\times 48=96$$96+6 = 102$

$$\frac{6}{102} = \frac{1}{17}.$$

Ancora una volta è la frazione nera della regione rossa + nera.

$12$$6$

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Ho trovato tali figure schematiche utili anche - forse soprattutto - quando si cerca di comprendere concetti di probabilità più complicati, come le filtrazioni delle algebre di sigma .

Un modo diverso di impostare un problema che porta al secondo calcolo è il seguente:

Pesca due carte dal mazzo. Qual è la probabilità di due assi dato che la prima carta che hai pescato era un asso?

Questo fraseggio facilita il contrasto con il primo calcolo. Le probabilità sottostanti di aver scelto due assi non cambiano, ma la condizione di avere la prima carta come asso è più restrittiva della condizione se entrambi sono un asso. Ciò significa che nel calcolo della probabilità condizionale la combinazione desiderata deve verificarsi tra un minor numero di opzioni, quindi ha una probabilità maggiore.

Le due diverse frasi (asso di picche contro prima carta come asso) sono simili, perché interrompono la simmetria / scambiabilità tra gli assi: il seme o l'ordine non possono essere arbitrariamente scambiati.

All'inizio mi è stato difficile avere qualche intuizione in merito.

Un'idea è quella di portare il problema al limite. In questo caso, come ha notato Steve, un problema identico è: il mio vicino ha due figli - sai che uno di loro è un ragazzo. Qual è la probabilità che abbia due ragazzi.

La prima idea è, ok, ho un ragazzo, l'altro bambino ha 1/2 possibilità di essere una ragazza e 1/2 di essere un ragazzo, ma in questo caso non stai prendendo tutte le informazioni che ti danno il fatto ( almeno hai un ragazzo) perché è implicito che questo ragazzo può essere il bambino più piccolo essendo il più grande di una ragazza o viceversa o entrambi sono ragazzi, il che significa che solo uno dei tre possibili esiti è favorevole.

Come ho già detto, è più semplice portare il problema al limite ...

Caso 1: Caso astratto identico a "abbiamo un asso" -> In questo caso immagina che Il mio vicino non abbia 2 figli ma 27 e sai che 26 sono maschi, la probabilità è quasi zero. In questo caso è chiaro che queste informazioni ti danno molte informazioni sul fatto che, in termini probabilistici, il bambino rimasto è una ragazza. Per essere precisi, avrai un caso con 27 ragazzi, diciamo una tupla (b, b, b, b, b, b ..., b) e 27 casi con 1 ragazza e 26 ragazzi (g, b, b , b ...), (b, g, b, b, b ...), quindi la probabilità di tutti i ragazzi è 1/27, in generale sarà 1 / (N + 1)

case2: informazioni concrete. Questo sarebbe identico a "Abbiamo l'asso di picche" o "abbiamo la prima carta che è un asso". In questo caso, immagina che il nostro vicino abbia 26 figli, tutti maschi, ed è incinta del 27esimo. Qual è la probabilità che il 27 sarà un ragazzo?

Con case2 sono abbastanza sicuro che tutti noi possiamo avere una comprensione dell'intuizione necessaria per questo tipo di problemi di probabilità condizionali non così ovvi.

Se vuoi diventare ricco, devi scommettere sul primo caso con 26 ragazzi e un 27 ° perché la mancanza di informazioni concrete significa molta energia probabilistica sul rimanere bambino mentre nel secondo caso, l'entropia è enorme, abbiamo non informazioni per sapere dove scommettere.

Spero sia utile

Come si può dire che la risposta è 3/51 senza calcolare?

Se hai preso l'asso di picche in primo luogo. So quali sono le carte nel pacchetto. Quindi ci sono 3 assi su 51 carte. quindi per il secondo hai 3/51 possibilità di avere due assi.

E come comprendere intuitivamente la differenza tra i due scenari?

È perché "Avere un asso" è incluso in "Avere due assi". Ma "Avere l'asso di picche" non è incluso in "Avere due assi". Questa è la differenza

In effetti, se hai due asso, ne hai uno ma forse non l'asso di picche Quindi non è la stessa probabilità.

Questa risposta era per un altro post che è stato spostato su questo ..