Correlazione diversa da zero implica dipendenza?

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Sappiamo che la correlazione zero non implica indipendenza. Mi interessa sapere se una correlazione diversa da zero implica dipendenza, ovvero se per alcune variabili casuali e , possiamo dire in generale che ? $\text{Corr}(X,Y)\ne0$ $X$ $Y$ $f_{X,Y}(x,y) \ne f_X(x) f_Y(y)$

correlation independence

— Comp_Warrior
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Si perchè

Corr (X, Y) \neq 0 \Rightarrow Cov (X, Y) \neq 0

$\text{Corr}(X,Y)\ne0 \Rightarrow \text{Cov}(X,Y)\ne0$

\Rightarrow E (X Y) - E (X) E (Y) \neq 0

$\Rightarrow E(XY) - E(X)E(Y) \ne 0$

\Rightarrow \int \int x y f_{X, Y} (x, y) d x d y - \int x f_{X} (x) d x \int y f_{Y} (y) d y \neq 0

$\Rightarrow \int \int xyf_{X,Y}(x,y)dxdy -\int xf_X(x) dx\int yf_Y(y)dy \ne 0$

\Rightarrow \int \int x y f_{X, Y} (x, y) d x d y - \int \int x y f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y \neq 0

$\Rightarrow \int \int xyf_{X,Y}(x,y)dxdy -\int \int xyf_X(x) f_Y(y)dxdy \ne 0$

\Rightarrow \int \int x y [f_{X, Y} (x, y) - f_{X} (x) f_{Y} (y)] d x d y \neq 0

$\Rightarrow \int \int xy \big[f_{X,Y}(x,y) -f_X(x) f_Y(y)\big]dxdy \ne 0$

che sarebbe impossibile se $f_{X,Y}(x,y) -f_X(x) f_Y(y) =0,\;\; \forall \{x,y\}$ . Così

Corr (X, Y) \neq 0 \Rightarrow \exists {x, y} : f_{X, Y} (x, y) \neq f_{X} (x) f_{Y} (y)

$\text{Corr}(X,Y)\ne0 \Rightarrow \exists \{x,y\}:f_{X,Y}(x,y) \ne f_X(x) f_Y(y)$

Domanda: cosa succede con le variabili casuali che non hanno densità?

— Alecos Papadopoulos
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1

Alecos, ho una domanda stupida. Che cosa significa la freccia fantasia in, ad esempio, la linea 1? Immagino qualcosa del tipo "implica", ma non sono sicuro.

— Sycorax dice di reintegrare Monica il

2

@ user777 Intendi ? Anzi, significa "implica".

\Rightarrow

$\Rightarrow$

— Alecos Papadopoulos,

Il motivo per utilizzare la freccia di coinvolgimento solo in un argomento informale: la freccia di coinvolgimento è associativa sinistra o destra?

— Kasterma,

\impliesproduce che sembra migliore di quale produce .

⟹

$\implies$ \rightarow

\Rightarrow

$\Rightarrow$

— Dilip Sarwate,

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Sia che denotano variabili casuali tali che ed sono finiti. Quindi, , ed sono tutti finiti. $X$ $Y$ $E[X^2]$ $E[Y^2]$ $E[XY]$ $E[X]$ $E[Y]$

Restringendo la nostra attenzione a tali variabili casuali, indichi l'affermazione che e sono variabili casuali indipendenti e l'affermazione che e sono variabili casuali non correlate , ovvero . Quindi sappiamo che implica , cioè le variabili casuali indipendenti sono variabili casuali non correlate. In effetti, una definizione di variabili casuali indipendenti è che uguale a per tutte le funzioni misurabili $A$ $X$ $Y$ $B$ $X$ $Y$ $E[XY] = E[X]E[Y]$ $A$ $B$ $E[g(X)h(Y)]$ $E[g(X)]E[h(Y)]$ $g(\cdot)$ e ). Questo di solito è espresso come Ma è logicamente equivalente a , cioè $h(\cdot)$

A ⟹ B .

$A \implies B.$

A ⟹ B

$A \implies B$

\neg B ⟹ \neg A

$\neg B \implies \neg A$

variabili casuali correlate sono variabili casuali dipendenti .

Se , o non sono limitati o non esistono, allora non è possibile dire se e non siano correlati o meno nel significato classico di variabili casuali non correlate che sono quelle per le quali . Ad esempio, e potrebbero essere variabili casuali indipendenti di Cauchy (per le quali la media non esiste ). Sono variabili casuali non correlate in senso classico? $E[XY]$ $E[X]$ $E[Y]$ $X$ $Y$ $E[XY] = E[X]E[Y]$ $X$ $Y$

— Dilip Sarwate
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3

La cosa bella di questa risposta è che si applica indipendentemente dal fatto che le variabili casuali in questione ammettano o meno una funzione di densità, al contrario di altre risposte su questo thread. Ciò è dovuto al fatto che le aspettative possono essere definite con gli integrali di Stieltjes utilizzando il CDF, senza menzionare la densità.

— ah

1

Ecco una prova puramente logica. Se allora necessariamente , poiché i due sono equivalenti. Così, se poi . Ora sostituisci con indipendenza e con correlazione. $A\rightarrow B$ $\neg B \rightarrow \neg A$ $\neg B$ $\neg A$ $A$ $B$

Pensa a un'affermazione "se il vulcano esplode ci saranno danni". Ora pensa a un caso in cui non ci sono danni. Chiaramente un vulcano non è scoppiato o avremmo una condtradicazione.

Allo stesso modo, pensa a un caso "Se indipendente , quindi non correlata ". Ora, considera il caso in cui sono correlati. Chiaramente non possono essere indipendenti, perché se lo fossero, sarebbero anche correlati. Quindi concludere la dipendenza. $X,Y$ $X,Y$ $X,Y$

— Tony
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Se leggerai attentamente la mia risposta, vedrai che anch'io ho usato l'argomento che hai formulato nella tua risposta, vale a dire che

è uguale a

A ⟹ B

$A \implies B$

.

\neq B ⟹ \neg A

$\neq B \implies \neg A$

— Dilip Sarwate,

@DilipSarwate Modificato per riflettere ciò.

— Tony,