Covarianza di un vettore casuale dopo una trasformazione lineare

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Se è un vettore casuale e è una matrice fissa, qualcuno potrebbe spiegare perché $\mathbf {Z}$ $A$

c o v [UN Z] = UN c o v [Z] {UN}^{⊤} .

$\mathrm{cov}[A \mathbf {Z}]= A \mathrm{cov}[\mathbf {Z}]A^\top.$

covariance

— user92612
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Per un vettore casuale (colonna) con vettore medio , la matrice di covarianza è definita come . Pertanto, la matrice di covarianza di , il cui vettore medio è , è data da $\mathbf Z$ $\mathbf{m} = E[\mathbf{Z}]$ $\operatorname{cov}(\mathbf{Z}) = E[(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^T]$ $A\mathbf{Z}$ $A\mathbf{m}$

\begin{aligned} COV (UN Z) & = E [(UN Z - UN m) (UN Z - UN m)^{T}] \\ = E [UN (Z - m) (Z - m)^{T} {UN}^{T}] \\ = UN E [(Z - m) (Z - m)^{T}] {UN}^{T} \\ = UN COV (Z) {UN}^{T} . \end{aligned}

$\begin{align}\operatorname{cov}(A\mathbf{Z}) &= E[(A\mathbf{Z}-A\mathbf{m})(A\mathbf{Z}-A\mathbf{m})^T]\\ &= E[A(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^TA^T]\\ &= AE[(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^T]A^T\\ &= A\operatorname{cov}(\mathbf{Z})A^T. \end{align}$

— Dilip Sarwate
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1

Ho corretto il mio errore di battitura. Grazie per aver segnalato il mio errore.

— user92612,

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Aggiungerei alla risposta di Dilip Sarwate che lo stesso risultato vale anche per la trasformazione della forma : $\mathbf{Z}A^T$

c o v (Z {UN}^{T}) = UN c o v (Z) {UN}^{T}

$\mathrm{cov}(\mathbf{Z}A^T) = A\mathrm{cov}(\mathbf{Z})A^T$

Utilizzando lo stesso approccio:

\begin{aligned} c o v (Z {UN}^{T}) & = E [(Z {UN}^{T} - m {UN}^{T}) (Z {UN}^{T} - m {UN}^{T})^{T}] \\ = E [(Z - m) {UN}^{T} UN (Z - m)^{T}] \\ = E [UN (Z - m) (Z - m)^{T} {UN}^{T}] \\ = UN E [(Z - m) (Z - m)^{T}] {UN}^{T} \\ = UN c o v (Z) {UN}^{T} \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{cov}(\mathbf{Z}A^T)&=\mathbb{E}[(\mathbf{Z}A^T-\mathbf{m}A^T)(\mathbf{Z}A^T-\mathbf{m}A^T)^T] \\ &=\mathbb{E}[(\mathbf{Z}-\mathbf{m})A^TA(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^T] \\ &=\mathbb{E}[A(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^TA^T] \\ &=A\mathbb{E}[(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^T]A^T \\ &=A\mathrm{cov}(\mathbf{Z})A^T \\ \end{align}$

Utilizzo di nel passaggio (3): $AB^TBA^T=BAA^TB^T$

\begin{aligned} UN B^{T} B {UN}^{T} & = {({(UN B^{T} B {UN}^{T})}^{T})}^{T} \\ = {(B {UN}^{T} UN B^{T})}^{T} \\ = B {(B {UN}^{T} UN)}^{T} \\ = B UN {UN}^{T} B^{T} \end{aligned}

$\begin{align}AB^TBA^T &= \left(\left(AB^TBA^T\right)^T\right)^T \\ &= \left(BA^TAB^T\right)^T \\ &= B\left(BA^TA\right)^T \\ &= BAA^TB^T \end{align}$

— Jan Kukacka
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