Covarianza di un vettore casuale dopo una trasformazione lineare


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Se è un vettore casuale e è una matrice fissa, qualcuno potrebbe spiegare perché A c o v [ A Z ] = A c o v [ Z ] A .ZUN

cov[UNZ]=UNcov[Z]UN.

Risposte:


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Per un vettore casuale (colonna) con vettore medio , la matrice di covarianza è definita come . Pertanto, la matrice di covarianza di , il cui vettore medio è , è data da m = E [ Z ] cov ( Z ) = E [ ( Z - m ) ( Z - m ) T ] A Z A m cov ( A Z )Zm=E[Z]COV(Z)=E[(Z-m)(Z-m)T]UNZUNm

COV(UNZ)=E[(UNZ-UNm)(UNZ-UNm)T]=E[UN(Z-m)(Z-m)TUNT]=UNE[(Z-m)(Z-m)T]UNT=UNCOV(Z)UNT.

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Ho corretto il mio errore di battitura. Grazie per aver segnalato il mio errore.
user92612,

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Aggiungerei alla risposta di Dilip Sarwate che lo stesso risultato vale anche per la trasformazione della forma : ZUNT

cov(ZUNT)=UNcov(Z)UNT

Utilizzando lo stesso approccio:

cov(ZUNT)=E[(ZUNT-mUNT)(ZUNT-mUNT)T]=E[(Z-m)UNTUN(Z-m)T]=E[UN(Z-m)(Z-m)TUNT]=UNE[(Z-m)(Z-m)T]UNT=UNcov(Z)UNT

Utilizzo di nel passaggio (3): UNBTBUNT=BUNUNTBT

UNBTBUNT=((UNBTBUNT)T)T=(BUNTUNBT)T=B(BUNTUN)T=BUNUNTBT
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