Test per distinguere i dati periodici da quelli quasi periodici

Supponiamo di avere una funzione sconosciuta con il dominio ℝ , che conosco per soddisfare alcune condizioni ragionevoli come la continuità. Conosco i valori esatti di f (perché i dati provengono da una simulazione) in alcuni punti di campionamento equidistanti t_i = t_0 + iΔt con i∈ \ {1, ..., n \} , che posso assumere per essere sufficientemente bene per catturare tutto aspetti rilevanti di f , ad esempio, posso supporre che ci sia al massimo un estremo locale di f tra due punti di campionamento. Sto cercando un test che mi dica se i miei dati soddisfano che f è esattamente periodico, cioè ieτ: f (t + τ) = f (t) \, ∀ \, t$f$$ℝ$$f$$t_i=t_0 + iΔt$$i∈\{1,…,n\}$$f$$f$$f$$∃τ: f(t+τ)=f(t) \,∀\,t$, con la durata del periodo leggermente risonabile, ad esempio $Δt < τ < n·Δt$ (ma è concepibile che io possa fare vincoli più forti, se necessario).

Da un altro punto di vista, ho i dati ${x_0, …, x_n}$ e sto cercando un test che risponda alla domanda se esiste una funzione periodica $f$ (soddisfacendo le condizioni come sopra) tale che $f(t_i)=x_i ∀ i$ .

Il punto importante è che $f$ è almeno molto vicino alla periodicità (potrebbe essere ad esempio $f(t) := \sin(g(t)·t)$ o $f(t) := g(t)·\sin(t)$ con $g'(t) ≪ g(t_0)/Δt$ ) nella misura in cui cambiare un punto dati di una piccola quantità può essere sufficiente per far sì che i dati rispettino $f$ essendo esattamente periodici. Pertanto, strumenti standard per l'analisi di frequenza come la trasformata di Fourier o l'analisi di passaggi a zero non saranno di grande aiuto.

Si noti che il test che sto cercando non sarà probabilmente probabilistico.

Ho alcune idee su come progettare un test del genere, ma voglio evitare di reinventare la ruota. Quindi sto cercando un test esistente.

Come ho detto, ho avuto un'idea di come farlo, di cui ho realizzato, perfezionato e scritto un articolo, che ora è pubblicato: Chaos 25, 113106 (2015) - prestampa su ArXiv .

Il criterio studiato è quasi lo stesso delineato nella domanda: dati dati campionati ai punti temporali , il test decide se esiste una funzione e a tale che:$x_1, \ldots, x_n$$t_0, t_0 + Δt, \ldots, t_0 + nΔt$$f: [t_0, t_0 + Δt] → ℝ$$τ ∈ [2Δt,(n-1)Δt]$

• $f(t_0 + iΔt)=x_i\quad \forall i∈\{1,…,n\}$
• $f(t+τ)=f(t) \quad∀t∈[t_0, t_0 + Δt-τ]$
• $f$ non ha estremi più locali della sequenza , con la possibile eccezione al massimo di un estremo vicino all'inizio e alla fine di ciascuno.$x$$f$

Il test può essere modificato per tenere conto di piccoli errori, come errori numerici del metodo di simulazione.

^{Spero che il mio articolo risponda anche al motivo per cui ero interessato a tale test.}

Trasforma i dati in un dominio di frequenza utilizzando la trasformata discreta di Fourier (DFT). Se i dati sono perfettamente periodici, ci sarà esattamente un bin di frequenza con un valore elevato e gli altri bin saranno zero (o vicino allo zero, vedere dispersione spettrale).

Si noti che la risoluzione della frequenza è data da . Quindi questo imposta il limite per la precisione del rilevamento.$\frac{\text{sampling frequency}}{\text{Number of samples}}$

Se conosci l'attuale segnale periodico, calcola

$\text{difference} = \Big|\text{theoretical data} - \text{measured data}\big|$

Quindi sommare gli elementi di . Se è al di sopra di una soglia (considerare l'errore dall'aritmetica in virgola mobile) i dati non sono periodici.$\text{difference}$