Qual è la potenza del test di regressione F?

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Il classico test F per sottoinsiemi di variabili nella regressione multilineare ha la forma dove è la somma degli errori al quadrato nel modello "ridotto", che nidifica nel modello "grande" , e sono i gradi di libertà del due modelli. Nell'ipotesi nulla che le variabili extra nel modello "grande" non abbiano un potere esplicativo lineare, la statistica è distribuita come F con gradi di libertà e .

F = \frac{(SSE (R) - SSE (B)) / (d f_{R} - d f_{B})}{SSE (B) / d f_{B}},

$F = \frac{(\mbox{SSE}(R) - \mbox{SSE}(B))/(df_R - df_B)}{\mbox{SSE}(B)/df_B},$

SSE (R)

$\mbox{SSE}(R)$

B

$B$

d f

$df$

d f_{R} - d f_{B}

$df_R - df_B$

d f_{B}

$df_B$

Qual è la distribuzione, tuttavia, in alternativa? Presumo che sia una F non centrale (spero non doppiamente non centrale), ma non riesco a trovare alcun riferimento su quale sia esattamente il parametro di non centralità. Immagino che dipenda dai veri coefficienti di regressione e probabilmente dalla matrice di progettazione , ma oltre a ciò non ne sono così sicuro. $\beta$ $X$

— shabbychef
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Il parametro noncentrality è , la proiezione per il modello con restrizioni è , è il vettore di parametri veri, è la matrice di progettazione per il modello senza restrizioni (vero),è la norma: $\delta^{2}$ $P_{r}$ $\beta$ $X$ $|| x ||$

δ^{2} = \frac{| | X β - P_{r} X β | |^{2}}{σ^{2}}

$\delta^{2} = \frac{|| X \beta - P_{r} X \beta ||^{2}}{\sigma^{2}}$

È possibile leggere la formula in questo modo: è il vettore dei valori attesi condizionali sulla matrice di progettazione . Se trattate come un vettore di dati empirici , la sua proiezione sul sottospazio del modello con restrizioni è , che fornisce la previsione dal modello con restrizioni per quei "dati". Di conseguenza, è analogo a e ti dà l'errore di quella previsione. Quindi fornisce la somma dei quadrati di quell'errore. Se il modello con restrizioni è true, quindi $E(y | X) = X \beta$ $X$ $X \beta$ $y$ $P_{r} X \beta$ $\hat{y}$ $X \beta - P_{r} X \beta$ $y - \hat{y}$ $|| X \beta - P_{r} X \beta ||^{2}$ $X \beta$ è già all'interno del sottospazio definito da e , in modo tale che il parametro di non centralità sia . $X_{r}$ $P_{r} X \beta = X \beta$ $0$

Dovresti trovarlo a Mardia, Kent e Bibby. (1980). Analisi multivariata.

— Caracal
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grande! la norma dovrebbe essere quadrata? Altrimenti sembra che le unità contino?

— Affermate

@shabbychef Certo che hai ragione, grazie per averlo colto!

— Caracal,

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Ho confermato la risposta di @ caracal con un esperimento di Monte Carlo. Ho generato istanze casuali da un modello lineare (con la dimensione casuale), calcolato la statistica F e calcolato il valore p usando il parametro di non centralità poi ho tracciato il cdf empirico di questi valori p. Se il parametro di non centralità (e il codice!) È corretto, dovrei ottenere un cdf quasi uniforme, che è il caso:

δ^{2} = \frac{| | X β_{1} - X β_{2} | |^{2}}{σ^{2}},

$\delta^2 = \frac{||X\beta_1 - X\beta_2||^2}{\sigma^2},$

CDF empirico di ciò che dovrebbe essere normale

Ecco il codice R (scusate lo stile, sto ancora imparando):

#sum of squares
sum2 <- function(x) { return(sum(x * x)) }
#random integer between n and 2n
rint <- function(n) { return(ceiling(runif(1,min=n,max=2*n))) }
#generate random instance from linear model plus noise.
#n observations of p2 vector
#regress against all variables and against a subset of p1 of them
#compute the F-statistic for the test of the p2-p1 marginal variables
#compute the p-value under the putative non-centrality parameter
gend <- function(n,p1,p2,sig = 1) {
 beta2 <- matrix(rnorm(p2,sd=0.1),nrow=p2)
 beta1 <- matrix(beta2[1:p1],nrow=p1)
 X <- matrix(rnorm(n*p2),nrow=n,ncol=p2)
 yt1 <- X[,1:p1] %*% beta1
 yt2 <- X %*% beta2
 y <- yt2 + matrix(rnorm(n,mean=0,sd=sig),nrow=n)
 ncp <- (sum2(yt2 - yt1)) / (sig ** 2)
 bhat2 <- lm(y ~ X - 1)
 bhat1 <- lm(y ~ X[,1:p1] - 1)
 SSE1 <- sum2(bhat1$residual)
 SSE2 <- sum2(bhat2$residual)
 df1 <- bhat1$df.residual
 df2 <- bhat2$df.residual
 Fstat <- ((SSE1 - SSE2) / (df1 - df2)) / (SSE2 / bhat2$df.residual)
 pval <- pf(Fstat,df=df1-df2,df2=df2,ncp=ncp)
 return(pval)
}
#call the above function, but randomize the problem size (within reason)
genr <- function(n,p1,p2,sig=1) {
 use.p1 <- rint(p1)
 use.p2 <- use.p1 + rint(p2 - p1)
 return(gend(n=rint(n),p1=use.p1,p2=use.p2,sig=sig+runif(1)))
}
ntrial <- 4096
ssize <- 256
z <- replicate(ntrial,genr(ssize,p1=4,p2=10))
plot(ecdf(z))

— shabbychef
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+1 per il follow-up con il codice. Sempre bello vederlo.

— mpiktas,